高二数学已知:三角形三边为a,b,c.设p=1/2(a+b+c)
求证(1)三角形面积S=√p(p―a)(p―b)(p―c)
(2)r为三角形的内切原半径,则r=√p(p―a)(p―b)(p―c)/p
(3)设边BC,CA,AB上的高为ha,hb,hc.则:
ha=2/a*√p(p―a)(p―b)(p―c)
hb=2/b*√p(p―a)(p―b)(p―c)
hc=2/c*√p(p―a)(p―b)(p―c)
(1)S=1/2*absinC
=1/2*ab√[1-(cosC)²]
1-(cosC)²=1-[(a²+b²-c²)/(2ab)]²
=[(2ab)²-(a²+b²-c²)^2]/(2ab)²
=(2ab+a²+b²-c²)(2ab-a²-b²+c²)/(2ab)²
=[(a+b)²-c²]{c²-(a-b)²]/(2ab)²
=(a+b+c)(a+b-c)(c...全部
(1)S=1/2*absinC
=1/2*ab√[1-(cosC)²]
1-(cosC)²=1-[(a²+b²-c²)/(2ab)]²
=[(2ab)²-(a²+b²-c²)^2]/(2ab)²
=(2ab+a²+b²-c²)(2ab-a²-b²+c²)/(2ab)²
=[(a+b)²-c²]{c²-(a-b)²]/(2ab)²
=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)/[4(ab)²]
=4*(a+b+c)/2*(a+b-c)/2*(c+a-b)/2*(b+c-a)/2]/(ab)²
p=(a+b+c)/2--->(a+b-c)/2=(a+b+c)/2-c=p-c; (c+a-b)/2)=p-b; (b+c-a)/2=p-a
S=1/2*ab*√[4p(p-a)(p-b)(p-c)/(ab)²]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
这是海伦公式！
(2)三角形面积公式：
1。
S=rp
公式1的证法：连接内心0与顶点A,B,C
将△ABC分成三个小三角形：△BOC、△AOC、△AOB
其底边分别是a、b、c，高都是r
--->S=S△BOC+S△AOC+S△AOB
=ar/2+br/2+cr/2=(a+b+c)r/2=rp
rp=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
r=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]/p
(3)。
。。。代海伦公式进面积公式S=(1/2)a(ha)。。。即可
。收起
