数学题!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
短轴端点应该是 B(0, 1)
设点A、C分别在椭圆的位于y轴的左侧、右侧部分上
首先,当直线BA、BC的斜率分别为 1、-1 时,显然是(算1个)
(这种特殊情况不单独讨论也可以,请看下面的过程):
设 BA 的斜率为 k(k>0),则 BC 的斜率为 -1/k
直线 BA 的方程 y=kx+1 与 椭圆的方程联立并消去 y,得
x² + a²(kx+1)² - a² = 0
即 (1+k²a²)x² + 2ka²x = 0
可得 A 点的横坐标为 x = -2ka²/(1+k²a&s...全部
短轴端点应该是 B(0, 1)
设点A、C分别在椭圆的位于y轴的左侧、右侧部分上
首先,当直线BA、BC的斜率分别为 1、-1 时,显然是(算1个)
(这种特殊情况不单独讨论也可以,请看下面的过程):
设 BA 的斜率为 k(k>0),则 BC 的斜率为 -1/k
直线 BA 的方程 y=kx+1 与 椭圆的方程联立并消去 y,得
x² + a²(kx+1)² - a² = 0
即 (1+k²a²)x² + 2ka²x = 0
可得 A 点的横坐标为 x = -2ka²/(1+k²a²)
所以 |BA| = √(1+k²) * |x| = √(1+k²) * 2ka²/(1+k²a²)
将 k 换为 -1/k ,可得
|BC| = √(1+k²) * 2a²/(k²+a²)
由 |BA| = |BC| , 得 k/(1+k²a²) = 1/(k²+a²)
整理得 k³ - a²k² + a²k - 1 = 0
即 (k - 1) * [k² + (1-a²)k + 1] = 0
显然 k=1 是其一个根,
另外 对于二次方程 k² + (1-a²)k + 1 = 0
当 1 √3 时,有两个不相等且不为1的正根
综上所述,k的不同正值最多有三个
所以最多能作3个符合要求的等腰直角三角形
。
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