对数、虚数、三角欧拉的e^(ip
复数的指数式是这样来的:
(1)定义复变量的指数函数
若有复数项级数:1+Z+(1/2!)Z^2+。。。+(1/n!)Z^n+。。。
(其中,Z=X+iY )
当Y=0时,Z=X,此时,上述级数就成为e^x的戴劳展开式,顺理成章,当Z为复数时,上述级数就定义为e^z,这是复变量的指数函数,复数的指数式就是由这里推出来的:
(2)用复变量的指数函数推出欧拉公式(尤拉公式)
当X=0时,上述级数就成为e^(iy),把级数中的Z用iy代换后,注意到i的方次的特殊性(一次方是i,二次方是-1,三次方是-i,四次方是1),展开式中就有实部和虚部两部分,实部正好是COSy的展开式,虚部系数正好是SIN...全部
复数的指数式是这样来的:
(1)定义复变量的指数函数
若有复数项级数:1+Z+(1/2!)Z^2+。。。+(1/n!)Z^n+。。。
(其中,Z=X+iY )
当Y=0时,Z=X,此时,上述级数就成为e^x的戴劳展开式,顺理成章,当Z为复数时,上述级数就定义为e^z,这是复变量的指数函数,复数的指数式就是由这里推出来的:
(2)用复变量的指数函数推出欧拉公式(尤拉公式)
当X=0时,上述级数就成为e^(iy),把级数中的Z用iy代换后,注意到i的方次的特殊性(一次方是i,二次方是-1,三次方是-i,四次方是1),展开式中就有实部和虚部两部分,实部正好是COSy的展开式,虚部系数正好是SINy的展开式,于是得到:
e^(iy)=COSy+iSINy,把y换写为X,就成为
e^(iX)=COSX+iSINX
这就是欧拉公式(尤拉公式)。
公式中,若X=π,则 e^(iπ)=COSπ+iSINπ=-1+i0=-1
这就是 e^(ipi)+1=0 的来历。
(3)推出复数的三角式
复数的三角式是利用直角坐标和极坐标之间的关系得来的:
Z=X+iY=r(COSθ+iSINθ)
其中,r=∣Z∣=√(X^2+Y^2)
tgθ=Y/X
(上述关系画一下图就知道了---把直角坐标系中的Y轴单位设为i,使之成为复平面,Z就是复平面上的一个点,该点与原点的连线为r,r与X轴的夹角为θ)
(4)推出复数的指数式
再由欧拉公式: e^(iθ)=COSθ+iSINθ,从复数的三角式即可写为:
Z=r(COSθ+iSINθ)=re^(iθ),这就是复数的指数式。
(复数的指数式可看成是复数的极坐标表达形式)。
。收起