求解:高一数学题解答以A(3,4
以A(3,4)为一个顶点,在X轴上找一点B,再在直线L:2X-Y+3=0上找一点C,构成三角形ABC,使其周长最小,并求最小值。
如图
作点A(3,4)关于直线l:2x-y+3=0的对称点A',作A关于x轴的对称点A'',连接A'A'',与直线L的交点就是B,与x轴的交点就是C
此时,△ABC的周长最小
【证明:
因为A、A'关于直线L对称,那么直线L上的任意一点到A、A'的距离都相等
所以:BA=BA'
同理,A、A''关于x轴对称,那么x轴上任意一点到A、A''的距离也相等
所以,CA=CA''
那么,△ABC的周长=AB+BC+AC=A'B+BC+CA''=A'A'',即线段A'A'...全部
以A(3,4)为一个顶点,在X轴上找一点B,再在直线L:2X-Y+3=0上找一点C,构成三角形ABC,使其周长最小,并求最小值。
如图
作点A(3,4)关于直线l:2x-y+3=0的对称点A',作A关于x轴的对称点A'',连接A'A'',与直线L的交点就是B,与x轴的交点就是C
此时,△ABC的周长最小
【证明:
因为A、A'关于直线L对称,那么直线L上的任意一点到A、A'的距离都相等
所以:BA=BA'
同理,A、A''关于x轴对称,那么x轴上任意一点到A、A''的距离也相等
所以,CA=CA''
那么,△ABC的周长=AB+BC+AC=A'B+BC+CA''=A'A'',即线段A'A''
在直线L上取异于点B的另外一点B'
则,同样有:B'A=B'A',CA=CA''
此时,△AB'C的周长=AB'+B'C+CA=A'B'+B'C+CA''>A'C+CA''=A'A''
这是因为在△A'B'C中,两边之和大于第三边
所以,前面求的的△ABC的周长为最小。
同理,也可以在x轴上找到另外的点,也满足上述结论。】
已知点A(3,4),设点A关于直线L的对称点A'(a,b)
那么:
①AA'连线与L垂直,所以斜率之积为-1
即,Kaa'=(b-4)/(a-3),Kl=2
所以,[(b-4)/(a-3)]*2=-1……………………………………(1)
②A、A'中点((a+3)/2,(b+4)/2)在直线L上,所以:
2*[(a+3)/2]-[(b+4)/2]+3=0…………………………………(2)
联立(1)(2)解得:a=-1,b=6
所以,点A'(-1,6)
点A''与A(3,4)关于x轴对称,所以:点A''(3,-4)
设过A'(-1,6)和A''(3,-4)的直线为y=kx+b,则:
-k+b=6
3k+b=-4
解得:k=-5/2,b=7/2
所以,A'A''所在直线为:y=(-5/2)x+(7/2),即:5x+2y=7
那么,点B就是上述直线与直线L:2x-y+3=0的交点。
则:
5x+2y=7
2x-y=-3
解得:x=1/9,y=29/9
即点B(1/9,29/9)
直线5x+2y=7与x轴的交点为C
则,点C(7/5,0)
此时,△ABC的周长就是线段A'A''的长度
所以,A'A''=√[(6+4)^2+(-1-3)^2]=2√29
综上:
当点B(1/9,29/9),点C(7/5,0)时,△ABC的周长最小,最小值为2√29。
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