如何证明柯西收敛准则
证明：1,令{An}为收敛数列，则其必有极限，令{An}极限为M，故存在正整数N；当 n m>N时有｜An-M｜<H/2(H为大于0的任意正数）,｜Am-M｜<H/2。所以｜An-Am｜<｜An-M+M-Am｜<｜An-M｜+｜Am-M｜=H/2+H/2=H。 2,若{An}中至多含有有限个不同的点则从某项起{An}含有无限多个相同的点即{An}为常数列，否则{An}不满足柯西条件;若{An}中含有无限多个各不相同的点则根据聚点定理{An}至少含有一个聚点，假设{An}含有两个聚点d1 d2且d1<d2，令e=d2-d1,所以在U(d1;e/3)U(d...全部
证明：1,令{An}为收敛数列，则其必有极限，令{An}极限为M，故存在正整数N；当 n m>N时有｜An-M｜<H/2(H为大于0的任意正数）,｜Am-M｜<H/2。所以｜An-Am｜<｜An-M+M-Am｜<｜An-M｜+｜Am-M｜=H/2+H/2=H。
2,若{An}中至多含有有限个不同的点则从某项起{An}含有无限多个相同的点即{An}为常数列，否则{An}不满足柯西条件;若{An}中含有无限多个各不相同的点则根据聚点定理{An}至少含有一个聚点，假设{An}含有两个聚点d1 d2且d1<d2，令e=d2-d1,所以在U(d1;e/3)U(d2;e/3)内都含有{An}中的无限多个点，这与存在N,当m n>N 时｜An-Am｜<H矛盾，故{An}只含有一个聚点，令其为d1,所以当n m>N，｜An-Am｜<H/2(H为大于0的任意正数）时存在Ah属于U(d1;e/3)且｜Ah-d1｜<H/2，所以｜An-d1｜<｜An-Ah｜+｜Ah-d1｜<H/2+H/2=H，故{An}收敛于d1。
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