P为正三角形ABC所在平面外一点
P为正三角形ABC所在平面外一点,PB,PC与平面ABC所成角相等
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P为正三角形ABC所在平面外一点,PB,PC与平面ABC所成角相等,那么这样的点P有无穷多个。为了简便计算，我们不妨设点P在面ABC内的投影为BC的中点E，且PB=PC=BC。
即△PBC是与△ABC全等的正三角形，且△PBC所在的平面与△ABC所在平面垂直。 很明显，PB,PC与平面ABC所成角∠PBE=∠PCE相等 连结CD，过E作CD的垂线，垂足为F 因为，PE⊥面ABC，所以：PE⊥CD 又因为EF⊥CD,所以，CD⊥面PEF 所以，CD⊥PF 即，∠PFE为面PCD与面ABC所成角 设，△PBC与△ABC的边长为4a，则： BD=AB/2=2a，PE=4a*(√3/2)=2√3a 因为D是AB中点，所以BD⊥CD 又，EF⊥CD 所以，EF∥BD，且E为BC中点 所以，EF=BD/2=a 所以，在Rt△PEF中，PE=2√3a,EF=a 所以：tan∠PFE=PE/EF=2√3a/a=2√3 所以，∠PFE=arctan(2√3)。
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即△PBC是与△ABC全等的正三角形，且△PBC所在的平面与△ABC所在平面垂直。 很明显，PB,PC与平面ABC所成角∠PBE=∠PCE相等 连结CD，过E作CD的垂线，垂足为F 因为，PE⊥面ABC，所以：PE⊥CD 又因为EF⊥CD,所以，CD⊥面PEF 所以，CD⊥PF 即，∠PFE为面PCD与面ABC所成角 设，△PBC与△ABC的边长为4a，则： BD=AB/2=2a，PE=4a*(√3/2)=2√3a 因为D是AB中点，所以BD⊥CD 又，EF⊥CD 所以，EF∥BD，且E为BC中点 所以，EF=BD/2=a 所以，在Rt△PEF中，PE=2√3a,EF=a 所以：tan∠PFE=PE/EF=2√3a/a=2√3 所以，∠PFE=arctan(2√3)。
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