数学

三角形证明题△ABC中，BC＞C

△ABC中，BC＞CA＞AB，AD与BE为角平分线，AD与BE相交于I，求证：IE＞ID。 证明 设BC=a,CA=b,AB=c,s=(a+b+c)/2,则有 ID={a√[sbc(s-a)]}/[s(b+c)]; IE={b√[sca(s-b)]}/[s(c+a)]; {b√[sca(s-b)]}/[s(c+a)]>{a√[sbc(s-a)]}/[s(b+c)] (b+c)*[√[b(s-b)]>(c+a)*√[a(s-a)]; b(c+a-b)*(b+c)^2>a(b+c-a)*(c+a)^2 -(c+a)*(b+c)(a+b+c)(a-b)+(a^2+b^2+ac+bc)*(a+b...全部

  △ABC中，BC＞CA＞AB，AD与BE为角平分线，AD与BE相交于I，求证：IE＞ID。 证明 设BC=a,CA=b,AB=c,s=(a+b+c)/2,则有 ID={a√[sbc(s-a)]}/[s(b+c)]; IE={b√[sca(s-b)]}/[s(c+a)]; {b√[sca(s-b)]}/[s(c+a)]>{a√[sbc(s-a)]}/[s(b+c)] (b+c)*[√[b(s-b)]>(c+a)*√[a(s-a)]; b(c+a-b)*(b+c)^2>a(b+c-a)*(c+a)^2 -(c+a)*(b+c)(a+b+c)(a-b)+(a^2+b^2+ac+bc)*(a+b+c)(a-b)>0 (a+b+c)*(a-b)*(a^2+b^2-ab-c^2)>0 因为C角最小,小于60角,故a^2+b^2-ab-c^2>0, 又a>b。
  所以成立。 过内心I作ID'⊥BC交BC于D'，IE'⊥CA交CA于E'，则ID'=IE'。 欲证IE>BD，只需证EE'>DD'。 因为BC＞CA＞AB，所以DD'=BD-BD'，EE'=AE-AE' 而BD'=(c+a-b)/2,BD=ac/(B+C); AE'=(b+c-a)/2,AE=bc/(c+a)。
   所以EE'>DD'等价于 bc/(c+a)-(b+c-a)/2>ac/(b+c)-(c+a-b)/2 a-b>c(a-b)*(a+b+c)/[(b+c)*(c+a)] (a-b)*ab/[(b+c)*(c+a)]>0。
  显然成立。收起