证明一个矩阵问题证明:3阶实矩阵
证明:3阶实矩阵A能分解为反对称矩阵T与一个正交矩阵R的积,A =R T ,的充要条件是A有一个零奇异值并且另外两个非零奇异值相等。 (注意:E为单位矩阵)
记A^(t)为A的转置矩阵。
1。 设3阶实矩阵A能分解为反对称矩阵T与一个正交矩阵R的积,A =R T ==》
A^(t)A=T^(t)R ^(t)R T=T^(t)T=- T^2。
T为3阶反对称矩阵==》T的特征多项式P(x)=x^3+ax,a>0
==>T^3+aT=0==>(- T^2)^2-a(- T^2)=0==>
(b1)^(t)b1=- T^2的最小多项式=x^2-ax==》
A^(t)A的特征值=0,a,而显然R...全部
证明:3阶实矩阵A能分解为反对称矩阵T与一个正交矩阵R的积,A =R T ,的充要条件是A有一个零奇异值并且另外两个非零奇异值相等。 (注意:E为单位矩阵)
记A^(t)为A的转置矩阵。
1。
设3阶实矩阵A能分解为反对称矩阵T与一个正交矩阵R的积,A =R T ==》
A^(t)A=T^(t)R ^(t)R T=T^(t)T=- T^2。
T为3阶反对称矩阵==》T的特征多项式P(x)=x^3+ax,a>0
==>T^3+aT=0==>(- T^2)^2-a(- T^2)=0==>
(b1)^(t)b1=- T^2的最小多项式=x^2-ax==》
A^(t)A的特征值=0,a,而显然R(- T^2)=2==》
A有一个零奇异值并且另外两个非零奇异值相等=√a。
2。3阶实矩阵A有一个零奇异值并且另外两个非零奇异值相等。
则有正交矩阵P,使P^(t)A^(t)AP=Λ,其中
Λ=[a,0,0]
[0,a,0],其中a>0
[0,0,0]
设B=P^(t)AP==》B^(t)B=Λ==》
B=(b1,b2,0),其中(b1)^(t)b1=(b2)^(t)b2=a,(b1)^(t)b2=0。
c1=b1/√a,c2=b2/√a,(b1)^(t)c3=(b2)^(t)c3=0,(c3)^(t)c3=1
==》
则Q1=(c1,c2,c3)为正交矩阵
Q1^(t)P^(t)AP=Q1^(t)B=
[√a,0,0]
[0,√a,0]
[0, 0,0]
设Q2=[0, 1,0]
[-1,0,0]
[0, 0,1]
==》Q1=为正交矩阵
==》Q1^(t)P^(t)APQ2=Δ=
[0,-√a,0]
[√a, 0,0]
[0, 0,0]
==》A=PQ1Δ[Q2]^(t)P^(t)=
=PQ1[Q2]^(t)P^(t){PQ2Δ[Q2]^(t)P^(t)},
T=PQ2Δ[Q2]^(t)P^(t),R =PQ1[Q2]^(t)P^(t),
显然T为反对称矩阵,R为正交矩阵,A=R T 。
。收起