近世代数的几个问题~~~谢谢了~~~1.设G是有限群.证明：G中使x^3=e的元...
1、证：x^3 = e,则x为1阶元素（即e本身）或3阶元素。若x = e,则这样的x唯一。若为G的3阶元素,则知x ≠ x^2,且二者均为G的3阶元素,从而G的3阶元素都成对出现。再注意到G中元素生成的循环群互不相交,则若x ≠ y均为G的三阶元,x^2 ≠ y,则它们属于不同的循环群,即x^n ≠ y（任意n）。 这保证了成对出现的3阶元素互不相交。综上,G中使x^3 = e的元素个数为奇数（1个e加上偶数个3阶元）。2、存在。有点像四元数中i、j、k的运算,对集合G = {e,a,b,c},定义乘法ea = a,eb = b,ec = c,a^2 = b^2 = c^2 = e^2...全部
1、证：x^3 = e,则x为1阶元素（即e本身）或3阶元素。若x = e,则这样的x唯一。若为G的3阶元素,则知x ≠ x^2,且二者均为G的3阶元素,从而G的3阶元素都成对出现。再注意到G中元素生成的循环群互不相交,则若x ≠ y均为G的三阶元,x^2 ≠ y,则它们属于不同的循环群,即x^n ≠ y（任意n）。
这保证了成对出现的3阶元素互不相交。综上,G中使x^3 = e的元素个数为奇数（1个e加上偶数个3阶元）。2、存在。有点像四元数中i、j、k的运算,对集合G = {e,a,b,c},定义乘法ea = a,eb = b,ec = c,a^2 = b^2 = c^2 = e^2 = e,ab = c,bc = a,ac = b,乘法可交换。
则易验证G是交接群,子群{e,a}、{e,b}、{e,c}覆盖G。3、Aut(Q) = {f(x) = q x | q 是非0的有理数}。证：不难看出,若f是Q的同态,则f(0) = f(0) f(0),从而f(0) = 0。
记f(1) = q,则由数学归纳法易见对自然数f(n) = n q。f(-n) f(n) = f(0) = 0,从而f(-n) = - f(n) = - nq。又归纳知 n f(x) = f(n x),从而f(x) = f(n x) / n。
（x是任意有理数）即对有理数m / n,有f(m / n) = f(m) / n。于是f((m/n) * y) = (m/n) * f(y),对上式记x = m / n,并取定y = 1,则f(x) = x f(1) = x q。
由f是单同态,则Ker f = {0},从而q不为0。容易验证当q为有理数时,f 还是满同态,从而是同构。综上,Q的自同构就只有f(x) = q x（q不等于0）。收起
