证明三角恒等式
证明tan(π/7)*tan (2π/7)*tan (3π/7)=√7。
证明 令A=π/7,B=2π/7,C=4π/7,那么A+B+C=π,
设三角形ABC对应边长分别a,b,c。
根据正弦定理:a/sin(π/7)=b/sin(2π/7)=c/sin(4π/7)
即可求得:cos(π/7)=b/(2a), cos(2π/7)=c/(2b), cos(4π/7)=-a/(2c),
再注意到倍角公式:
∠B=2∠A b^2-a^2=ac,(1)
∠C=2∠B c^2-b^2=ab, (2)
(1)+(2)得:c^2-a^2=a(b+c),
由此可推出:bc=a(b+c), c^2-a^2=bc
[sin(π/7)]^2=1-[cos(π/7)]^2=1-b^2/(4a^2)=(4a^2-b^2)/(4a^2)
=(3a^2-ac)/(4a^2)=(3a-c)/(4a)。
同理可得: [sin(2π/7)]^2=(3b-a)/(4b), [sin(4π/7)]^2=(3c+b)/(4c)。
所以 (64abc) *[sin(π/7)*sin (2π/7)*sin (4π/7)]^2
=(3a-c)*(3b-a)*(3c+b)=(3a-c)*(9bc-3ac+3b^2-ab)
=(3a-c)*(6bc+3b^2+2ab)=b*(3a-c)*(6c+2a+3b)
=b*(16ac-6c^2+6a^2+9ab-3bc)
=b*(16ac-9bc+9ab)=b*(16ac-9ac)=7abc
故sin(π/7)*sin (2π/7)*sin (3π/7)= (√7)/8
而cos(π/7)*cos(2π/7)*cos(3π/7)=-cos(π/7)*cos(2π/7)*cos(4π/7)
=[b/(2a)]*[c/(2b)]*[a/(2c)]=1/8
因此tan(π/7)*tan (2π/7)*tan (3π/7)=√7。
证毕。
。