急急急~初二数学~如图3.正方形
如图3。正方形ABCD的边长为a。点E。F。G。H分别在正方形的四条边上。已知EF∥GH。EF=GH。
因为EF//GH，且EF=GH
所以，四边形EFGH为平行四边形
则，EH//FG，且EH=FG
连接FH
因为AD//BC，所以：∠1+∠3=∠2+∠4
又，EF//GH，所以：∠1=∠2
所以，∠3=∠4
那么，在Rt△EBF和Rt△GDH中：
∠B=∠D=90°
∠3=∠4
EF=GH
所以，Rt△EBF≌Rt△GDH（AAS）
同理，Rt△EAH≌Rt△GCF
(1)若AE=AH=1/3 a。 求四边形EFGH的周长和面积
当AE=AH=a/3时，△EAH为等腰直角三角形
由前...全部
如图3。正方形ABCD的边长为a。点E。F。G。H分别在正方形的四条边上。已知EF∥GH。EF=GH。
因为EF//GH，且EF=GH
所以，四边形EFGH为平行四边形
则，EH//FG，且EH=FG
连接FH
因为AD//BC，所以：∠1+∠3=∠2+∠4
又，EF//GH，所以：∠1=∠2
所以，∠3=∠4
那么，在Rt△EBF和Rt△GDH中：
∠B=∠D=90°
∠3=∠4
EF=GH
所以，Rt△EBF≌Rt△GDH（AAS）
同理，Rt△EAH≌Rt△GCF
(1)若AE=AH=1/3 a。
求四边形EFGH的周长和面积
当AE=AH=a/3时，△EAH为等腰直角三角形
由前面的分析知，则△GCF也为等腰直角三角形
同理，△EBF、△GDH也为等腰直角三角形
所以，四边形EFGH为矩形
此时，在Rt△EAH中，由勾股定理得到：HE^2=AE^2+AH^2=(a/3)^2+(a/3)^2=2a^2/9
所以，HE=FG=√2a/3
同理，在Rt△EBF中，由勾股定理得到：EF^2=BE^2+BF^2=(2a/3)^2+(2a/3)^2=8a^2/9
所以，EF=HG=2√2a/3
所以，矩形EFGH的周长=2*(EF+EH)=2*[(2√2a/3)+(√2a/3)]=2√2a
矩形EFGH的面积=EF*EH=(2√2a/3)*(√2a/3)=4a^2/9
(2)求四边形EFGH的周长的最小值。
设AE=x，AH=y
那么，由前面结论知，Rt△EBF≌Rt△GDH
则，GD=EB=(a-x)，BF=DH=(a-y)
那么，在Rt△EAH中，由勾股定理得到：EH^2=AE^2+AH^2=x^2+y^2
同理，EF^2=BE^2+BF^2=(a-x)^2+(a-y)^2
所以，四边形EFGH的周长=2*(EF+EH)=2*[√(x^2+y^2)+√(a-x^2)+(a-y)^2]………………………………………………………（1）
令：D=√(x^2+y^2)+√[(a-x)^2+(a-y)^2]
则，D=√[(x-0)^2+(y-0)^2]+√[(x-a)^2+(y-a)^2]
它表示的是平面直角坐标系内的任意一点T(x,y)到原点O(0,0)和定点M(a,a)的距离之和
显然，当点T(x,y)位于线段OM上时，它们的距离之和最小。
此时，D=OM=√[(a-0)^2+(a-0)^2]=√2a
所以，四边形EFGH周长的最小值为2D=2√2a
说明：当点T(x,y)不在直线OM上时，根据三角形中两边之和大于第三边可以知道：OT+MT＞OM；而当点T(x,y)在直线OM上，但是是位于线段OM之外时，很明显也有OT+MT＞OM。
所以，只有当点T(x,y)位于线段OM上时，OT+MT=OM为最小
而此时很容易知，线段OM所在的直线方程为y=x
所以，点T(x,y)就在直线y=x上
而当x=y，即：AE=AH时，由(1)的过程知道，四边形EFGH为矩形（并不一定就非得是一楼所说的正方形！）。
收起
