求面数、顶点数和棱数一个多面体,各个面
设面数为F,顶点数为V,棱数为E,根据欧拉公式
多面体各个面的内角和为(E-F)*360°=3600°
E-F=10
各个面的边数及过每一顶点的棱数相同,多面体是正多面体,设每个面是正N边形,每个顶点有M条棱所以NF=2E ,MV=2E
F=2E/N ,V=2E/M
代入欧拉公式V+F-E=2
2E/M+2E/N-E=2
即1/M+1/N=1/2+1/E
1/E>0
1/M+1/N>1/2
由上可知正多边形只有5种情况
面边数N 每顶点棱数M E V F 类型 3 3 6 4 4 四边形
4 3 12 8 6 ...全部
设面数为F,顶点数为V,棱数为E,根据欧拉公式
多面体各个面的内角和为(E-F)*360°=3600°
E-F=10
各个面的边数及过每一顶点的棱数相同,多面体是正多面体,设每个面是正N边形,每个顶点有M条棱所以NF=2E ,MV=2E
F=2E/N ,V=2E/M
代入欧拉公式V+F-E=2
2E/M+2E/N-E=2
即1/M+1/N=1/2+1/E
1/E>0
1/M+1/N>1/2
由上可知正多边形只有5种情况
面边数N 每顶点棱数M E V F 类型 3 3 6 4 4 四边形
4 3 12 8 6 六边形
3 4 12 6 8 八边形
5 3 30 20 12 12边形
3 5 30 12 20 20边形
只有20边形符合E-F=10
20 个面,12个顶点,30个棱。
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