初三数学（圆的问题）AC,BD是
AC,BD是圆O的两条弦，且AC垂直BD，圆O的半径为1/2，猜想AB平方＋CD平方的值为
解 AB^2+CD^2=4*(1/2)^2=1。
参见
在半径为R圆O中，两条弦AC与BD，且AC⊥BD垂足为P。
求证:AP^2+BP^2+CP^2+DP^2=4R^2。
证法（一）连AO且延长交圆O另一端于E，连CE。则EC⊥AC，故CE∥CD，AE=2R。
所以得：CE=︱BM-DM︱。 (1)
由圆相交弦定理得:AP*CP=BP*DP。 (2)
由勾股定理得:AE^2=AC^2+CE^2=(AP+CP)^2+(BP-CP)^2
=AP^2+BP^2+CP^2+DP^2+2AP*CP-...全部
AC,BD是圆O的两条弦，且AC垂直BD，圆O的半径为1/2，猜想AB平方＋CD平方的值为
解 AB^2+CD^2=4*(1/2)^2=1。
参见
在半径为R圆O中，两条弦AC与BD，且AC⊥BD垂足为P。
求证:AP^2+BP^2+CP^2+DP^2=4R^2。
证法（一）连AO且延长交圆O另一端于E，连CE。则EC⊥AC，故CE∥CD，AE=2R。
所以得：CE=︱BM-DM︱。 (1)
由圆相交弦定理得:AP*CP=BP*DP。
(2)
由勾股定理得:AE^2=AC^2+CE^2=(AP+CP)^2+(BP-CP)^2
=AP^2+BP^2+CP^2+DP^2+2AP*CP-2BP*DP
= AP^2+BP^2+CP^2+DP^2。
故得: AP^2+BP^2+CP^2+DP^2=4R^2。
证法(二) 因为弦AC垂直于弦BD于P，所以
DA^2=AP^2+DP^2; (1)
AB^2=BP^2+AP^2; (2)
BC^2=BP^2+CP^2; (3)
CD^2=CP^2+DP^2。
(4)
上述四式相加得:
DA^2+AB^2+BC^2+CD^2=2(AP^2+BP^2+CP^2+DP^2) (5)
由正弦定理得:
DA=2R*sinx, x=∠ACD。
AB=2R*siny, y=∠ADB。
BC=2R*sinz, z=∠BDC。
CD=2R*sinw, w=∠CAD。
注意x+z=90°, y+w=90°
所以 DA^2+AB^2+BC^2+CD^2
=4R^2*[(sinx)^2+(cosx)^2+(siny)^2+(cosy)^2]=8R^2
故得:AD^2+BC^2+DB^2+CA^2=8R^2 (6)
因此 AP^2+BP^2+CP^2+DP^2=4R^2。
。收起
