高二数学函数问题对于函数f（x）
对于函数f（x），若存在x。∈R，使f（x。）=x。成立，则称x。为f（x）的不动点。如果函数
f（x）=（x^2+a)/(bx-c) (b,c∈N)有且只有两个不
动点0，2，且f-2）＜-1/2，
（1）求函数f（x）的解析式；
已知f（x）=（x^2+a)/(bx-c) (b,c∈N)有且只有两个不动点0，2
所以：f(0)=a/(-c)=0
所以，a=0
f(2)=2，则：f(2)=4/(2b-c)=2
所以：c=2b-2
又已知f(-2）=4/(-2b-c)=4/(-4b+2)＜-1/2
所以，2/(1-2b)+(1/2)＜0
===> (4+1-2b)/[2(1-2b)]＜0
...全部
对于函数f（x），若存在x。∈R，使f（x。）=x。成立，则称x。为f（x）的不动点。如果函数
f（x）=（x^2+a)/(bx-c) (b,c∈N)有且只有两个不
动点0，2，且f-2）＜-1/2，
（1）求函数f（x）的解析式；
已知f（x）=（x^2+a)/(bx-c) (b,c∈N)有且只有两个不动点0，2
所以：f(0)=a/(-c)=0
所以，a=0
f(2)=2，则：f(2)=4/(2b-c)=2
所以：c=2b-2
又已知f(-2）=4/(-2b-c)=4/(-4b+2)＜-1/2
所以，2/(1-2b)+(1/2)＜0
===> (4+1-2b)/[2(1-2b)]＜0
===> (5-2b)/[2(1-2b)]＜0
===> 5-2b>0且1-2b＜0
===> 1/2＜b＜5/2
因为b,c∈N，所以，b=1或者b=2
而，当b=1时，c=2b-2=0不满足b,c∈N的条件，舍去
所以，b=2
此时，c=2b-2=2
所以，f(x)=x^/(2x-2)
（2）已知各项不为零的数列{an}满足
4Sn×f（1/an）=1，求数列同项an；
由(1)知，f(x)=x^/(2x-2)，显然x≠1……………………（1）
所以，f(1/an)=(1/an)^/[2*(1/an)-2]=1/(2an-2an^)
所以，4Sn*f（1/an）=1
===> 4Sn*[1/(2an-2an^)]=1
===> Sn=(an-an^)/2
所以，S=(a-a^)/2
则，an=Sn-S=[(an-an^)/2]-[(a-a^)/2]
===> 2an=an-an^-a+a^
===> an^-a^=-(an+a)
===> (an+a)(an-a)+(an+a)=0
===> (an+a)(an-a+1)=0
===> an=-a或者an=a-1
根据上面Sn=(an-an^)/2，得到：a1=S1=(a1-a1^)/2
===> a1-a1^=2a1
===> a1^+a1=0
===> a1=-1或者a1=0(舍去，因为数列各项不为零)
当an=-a时，数列an为：-1、1、-1、1、……
此时，数列中的偶数项与上述(1)式相矛盾，舍去。
当an=a-1时，数列an为a1=-1，公差d=-1的等差数列。此时：
an=a1+(n-1)d=(-1)+(n-1)(-1)=-n
（3）如果数列{an}满足a1=4，a的n+1项=f（an），
求证：当n≥2时，恒有an＜3成立。
收起
