初二数学菱形ABCD，∠A＝∠B
菱形ABCD，∠A＝∠B＝60度，AB、AC上分别有点Q、P，Q点以2单位的速度向ABCD运动，P以1单位的速度同时向ACB运动，Q点运动到D点时，P点同时停止，设Q点运动到x时，三角形APQ和三角形ABC重合的面积y与x之间的函数关系。
有几个疑问：
①菱形ABCD中，∠A=∠B=60°？
②Q点向ABCD运动，P点向ACB运动是什么意思？
③点Q、P在AB、AC上的起点具体什么位置？
④菱形ABCD的边长是多少？
还应该说明，这里的x是指的点P、Q运动的时间！！！
如图
已知菱形ABCD中∠B=∠D=60°
所以，△ABC和△ADC均为等边三角形
设对角线AC、BD相交于点O
菱形...全部
菱形ABCD，∠A＝∠B＝60度，AB、AC上分别有点Q、P，Q点以2单位的速度向ABCD运动，P以1单位的速度同时向ACB运动，Q点运动到D点时，P点同时停止，设Q点运动到x时，三角形APQ和三角形ABC重合的面积y与x之间的函数关系。
有几个疑问：
①菱形ABCD中，∠A=∠B=60°？
②Q点向ABCD运动，P点向ACB运动是什么意思？
③点Q、P在AB、AC上的起点具体什么位置？
④菱形ABCD的边长是多少？
还应该说明，这里的x是指的点P、Q运动的时间！！！
如图
已知菱形ABCD中∠B=∠D=60°
所以，△ABC和△ADC均为等边三角形
设对角线AC、BD相交于点O
菱形的边长为6
那么，折线A-B-C-D的长度为6*3=18，折线A-C-B的长度为6*2=12
已知点Q沿着A-B-C-D以2单位/s的速度运动，所以它到达D需要的时间是18/2=9s
点P沿着A-C-B以1单位/s速度运动，所以它到达B需要的时间是12/1=12s
所以，点Q先到达点D
已知点Q到达D时点P也停止运动
所以，运动时间x的范围是：0≤x≤9
①如左图
当运动时间0≤x≤3时：AQ=2x，AP=x
那么，点Q在AB上，点P在AO上
此时，△APQ中，∠QAP=60°，且AP/AQ=1/2
所以，△APQ为直角三角形
它与△ABC重合的面积y就是△APQ的面积
所以，y=(1/2)*AP*PQ=(1/2)*x*[2x*(√3/2)]=(√3/2)x^2
②当3＜x≤6时：A-B-Q=2x，AP=x
那么，点Q在BC上，点P在OC上
此时，CQ=折线(A-B-C)-折线(A-B-Q)=12-2x，AP=x
过点Q作AC的垂线，垂足为E
那么，在Rt△CEQ中，QE=CQ*(√3/2)=(12-2x)*(√3/2)=√3*(6-x)
△APQ与△ABC重合的面积y就是△APQ的面积
即，y=(1/2)*AP*QE=(1/2)*x*√3*(6-x)=(√3/2)*(-x^2+6x)
③当6＜x≤9时：A-B-C-Q=2x＞12，A-C-P=x＞6
所以，点Q在CD上，点P在BC上
且，CQ=2x-12，CP=x-6
分别过点P、Q作AC的垂线，垂足为M、N；设PQ与AC的交点为E
那么：
CM=PC/2=(x-6)/2，CN=CQ/2=(2x-12)/2=x-6
所以，CM=CN/2
即，点M为CN中点
且，Rt△PMC∽Rt△QNC
所以，PM/QN=PC/QC=(x-6)/(2x-12)=1/2
因为PM⊥AC，QN⊥AC
所以，PM//QN
所以，PM/QN=ME/NE=1/2
设CE=a
那么，ME=CE-CM=a-[(x-6)/2]
NE=CN-CE=(x-6)-a
所以：[a-(x-6)/2]/[(x-6)-a]=1/2
解得，a=(2/3)(x-6)
所以，AE=AC-CE=6-(2/3)(x-6)=(30-2x)/3
此时△APQ与△ABC重合部分的面积y等于△APE的面积
所以，y=(1/2)*AE*PE=(1/2)*[(30-2x)/3]*[(x-6)*(√3/2)]
=(√3/6)*(-x^2+21x-90)
综上：
…{(√3/2)x^2（0≤x≤3）
y={(√3/2)*(-x^2+6x)（3＜x≤6）
…{(√3/6)*(-x^2+21x-90)（6＜x≤9）。
收起
