求一个简单的证明1981年单??
为行文方便，将楼主贴中的字母α,β,γ替换为λ,μ,ν。
设△ABC的三边长为a,b,c,面积为△，则有
λab+μbc+νca≥4△√(λμ+μν+νλ),其中λ,μ,ν>0。（2）
1） 式（2）是新的吗？如若不是，最先在什么文献中出现；
2） 请给出式（2）的一个简单证明；
答：1)鉴于八十年代国内学者对于Weitezenbock不等式曾经有过风靡一时的非常广泛、深刻的研究，所以楼主提出的这个不等式(2)极有可能被研究过。
华东交通大学刘健先生在《从一个简单的代数不等式谈起》(《中学教研(数学)》,1996年)一文中，曾发表过一个结果：设P是△ABC内任意一点，记∠BPC=α,∠...全部
为行文方便，将楼主贴中的字母α,β,γ替换为λ,μ,ν。
设△ABC的三边长为a,b,c,面积为△，则有
λab+μbc+νca≥4△√(λμ+μν+νλ),其中λ,μ,ν>0。（2）
1） 式（2）是新的吗？如若不是，最先在什么文献中出现；
2） 请给出式（2）的一个简单证明；
答：1)鉴于八十年代国内学者对于Weitezenbock不等式曾经有过风靡一时的非常广泛、深刻的研究，所以楼主提出的这个不等式(2)极有可能被研究过。
华东交通大学刘健先生在《从一个简单的代数不等式谈起》(《中学教研(数学)》,1996年)一文中，曾发表过一个结果：设P是△ABC内任意一点，记∠BPC=α,∠CPA=β,∠APB=γ,则有
tan(A/2)/sinα+tan(B/2)/sinβ+tan(C/2)/sinγ≥2 (*)
并猜测：0λ/sinA+μ/sinB+ν/sinC≥2√(λμ+μν+νλ)
tan(A'/2)/sin(π-α)+tan(B'/2)/sin(π-β)+tan(C'/2)/sin(π-γ)≥2√(tan(A'/2)tan(B'/2)+tan(B'/2)tan(C'/2)+tan(C'/2)tan(A'/2))
tan(A'/2)/sinα+tan(B'/2)/sinβ+tan(C'/2)/sinγ≥2。
2) 笔者已经注意到楼主在另贴中给出的不等式(2)的证明，那个证明应当已经是简单的，也可改写如下,以便显得更简捷。
证明 由三角形嵌入不等式：
x^2+y^2+z^2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC
及显然的不等式：
2yz+2zx+2xy≥2yzcos(B-C)+2zxcos(C-A)+2xycos(A-B)
得
(x+y+z)^2≥2yz(cosA+cos(B-C))+2zx(cosB+cos(C-A))+2xy(cosC+cos(A-B))
=2yz(-cos(B+C)+cos(B-C))+2zx(-cos(C+A)+cos(C-A))+2xy(-cos(A+B)+cos(A-B))
=4(yzsinBsinC+zxsinCsinA+xysinAsinB)
即 (x+y+z)^2≥4(yzsinBsinC+zxsinCsinA+xysinAsinB) (**)
在(**)式中，令x=λ/sinA,y=μ/sinB,z=ν/sinC,则
(λ/sinA+μ/sinB+ν/sinC)^2≥4(λμ+μν+νλ)，
即 λ/sinA+μ/sinB+ν/sinC≥2√(λμ+μν+νλ)，
即 λab+μbc+νca≥4△√(λμ+μν+νλ),
因此，不等式(2)成立。
。收起
