整数问题（3）在Rt△ABC中，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上分别截取AE=AC，BD=BC。若△ABC三边为整数，且DE=6，求△ABC周长。
设Rt△ABC的三边分别为a、b、c
则，AE=AC=b
所以，AD=AE-DE=b-6
同理，BE=a-6
所以，斜边c=AB=AD+DE+BE=(b-6)+6+(a-6)=a+b-6
由勾股定理得到：c^2=a^2+b^2
(a+b-6)^2=a^2+b^2
a^2+b^2+36+2ab-12a-12b=a^2+b^2
12(a+b)-2ab=36
6(a+b)-ab=18
6(a+b-3)=ab
因为a、b均为正整数，所以不妨设a=6k（k为正整数）...全部
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上分别截取AE=AC，BD=BC。若△ABC三边为整数，且DE=6，求△ABC周长。
设Rt△ABC的三边分别为a、b、c
则，AE=AC=b
所以，AD=AE-DE=b-6
同理，BE=a-6
所以，斜边c=AB=AD+DE+BE=(b-6)+6+(a-6)=a+b-6
由勾股定理得到：c^2=a^2+b^2
(a+b-6)^2=a^2+b^2
a^2+b^2+36+2ab-12a-12b=a^2+b^2
12(a+b)-2ab=36
6(a+b)-ab=18
6(a+b-3)=ab
因为a、b均为正整数，所以不妨设a=6k（k为正整数）
6(6k+b-3)=6kb
6k+b-3=kb
b-3=(b-6)k
k=(b-3)/(b-6)＞0，且k为正整数
所以，b＞6
令b-6=m，则：b-3=m+3
则，k=(m+3)/m=1+(3/m)
所以：
①当m=1时，即b=6+m=7
k=1+(3/m)=4
此时，a=6k=24
c=a+b-6=24+7-6=25
Rt△ABC的周长=a+b+c=24+7+25=56
②当m=3时，即b=6+m=9
k=1+(3/m)=2
此时，a=6k=12
c=a+b-6=12+9-6=15
Rt△ABC的周长=a+b+c=12+9+15=36。收起
