数学作业

1)已知方程x^2+x+p=0的两虚根为a,b,且|a-b|=3,求实数p的值2)若一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a,b,c为实数)有虚根a,且a^3是实数,求证：a,b,c成等比数列

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2007-10-30

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    解：1)由韦达定理得：a+b=-1 ab=p 由题设3=|a-b|,所以有9=|a-b|²=|(a+b)²-4ab|=|1-4p| 因为方程为实系数且有一对共轭虚根, 判别式小于0,即1-4p<0,4p-1=9,p=5/2。
     2)由题意设a=m+ni (m,n为实数,n不为0)则 b=m-ni也为方程另一根而a³=(m³-3mn²)+(3m²n-n³)i a³为实数,所以3m²n-n³=0 n不等于0,3m²=n² 由韦达定理：-b/a=a+b=2m c/a=a·b=m²+n² b/a=-2m c/a=4m² b²/a²=4m²=c/a,由此得b²=ac 即a,b,c成等比数列。

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