高一映射问题设M=｛a,b,c,d｝，
先搞清映射与函数的要点:
映射f:M--->N要求M中每个元素在N中有唯一的象,但并不要求N中元素都有原象;而函数是一种特殊的映射(称满射)-----它还要求N中元素都有原象。(下满C(a,b)表示a中取b的组合数,P(a,b)表示a中取b的排列数)
对于本题: M=｛a,b,c,d｝，N=｛-1，0，1｝，共有3×3×3×3=81个映射(对a,b,c,d中每个元素找象都有3种找法)。 函数只有36个:
第1步:N中3取1找原象有C(3,1)=3种,第2步:M中4取2找两个原素与N中一个元素对应有C(4,2)=6种,第3步:N中剩下的原素在中剩下的两位置排列有P(2,2)=2种,由乘法原...全部
先搞清映射与函数的要点:
映射f:M--->N要求M中每个元素在N中有唯一的象,但并不要求N中元素都有原象;而函数是一种特殊的映射(称满射)-----它还要求N中元素都有原象。(下满C(a,b)表示a中取b的组合数,P(a,b)表示a中取b的排列数)
对于本题: M=｛a,b,c,d｝，N=｛-1，0，1｝，共有3×3×3×3=81个映射(对a,b,c,d中每个元素找象都有3种找法)。
函数只有36个:
第1步:N中3取1找原象有C(3,1)=3种,第2步:M中4取2找两个原素与N中一个元素对应有C(4,2)=6种,第3步:N中剩下的原素在中剩下的两位置排列有P(2,2)=2种,由乘法原理3×6×2=36
∴(1)以M为定义域，N为值域的函数有36个
(2)f(a)=f(b)=f(c)=f(d)等于-1,0,1中的一个,共3个
∴满足f(a)≤f(b)≤f(c)≤f(d)的函数有3个
(3)-1=f(a)=f(b) 有2个,共4个
36个单数中,f(a)≤f(b)≤f(c)≤f(d)中只能有一处取等号,有3种
∴从M到N的映射满足f(a)≤f(b)≤f(c)≤f(d)的映射有3+3+4+3=13个
(4)N中元素都有原象(其中有1个元素有两个原象):f(a)+f(b)+f(c)+f(d)为偶数,只能0有2个原象,有C(4,2)×P(2,2)=12个,f(a)+f(b)+f(c)+f(d)为奇数有36-12=24个;
N中两个元素无原象,一个元素有4个原象,有C(3,2)×C(4,4)=3,
f(a)+f(b)+f(c)+f(d)全为偶数
N中1个元素无原象,一个元素有3个原象,C(3,1)×C(4,3)×C(2,1)=24,N中元素0无原象时,f(a)+f(b)+f(c)+f(d)为偶数有8个,奇数16个
N中1个元素无原象,另2个元素各有2,C(3,1)×C(4,2)=18个,N中元素0无原象时,f(a)+f(b)+f(c)+f(d)为偶数有6个,奇数12个
∴ 可以建立12+3+8+6=59个f(a)+f(b)+f(c)+f(d)为偶数的映射
(5)可以建立81-29=52个f(a)+f(b)+f(c)+f(d)为奇数的映射。
收起
