高一数学题.已知函数f(x)=x
已知函数f(x)=x+根号下(2-x)。
（1）若a≤2，b≤2，判断f(a)-f(b)与a-b的大小，并证明你的结论。
已知f(x)=x+√(2-x)，定义域为x≤2
所以:
f(a)=a+√(2-a)，f(b)=b+√(2-b)
所以，令A=f(a)-f(b)=(a-b)+[√(2-a)-√(2-b)]
令B=a-b
所以，A-B=(a-b)+[√(2-a)-√(2-b)]-(a-b)
=√(2-a)-√(2-b)
=[√(2-a)-√(2-b)]*[√(2-a)+√(2-b)]/[√(2-a)+√(2-b)]
=[(2-a)-(2-b)]/[√(2-a)+√(2-b)]
=(b-a)...全部
已知函数f(x)=x+根号下(2-x)。
（1）若a≤2，b≤2，判断f(a)-f(b)与a-b的大小，并证明你的结论。
已知f(x)=x+√(2-x)，定义域为x≤2
所以:
f(a)=a+√(2-a)，f(b)=b+√(2-b)
所以，令A=f(a)-f(b)=(a-b)+[√(2-a)-√(2-b)]
令B=a-b
所以，A-B=(a-b)+[√(2-a)-√(2-b)]-(a-b)
=√(2-a)-√(2-b)
=[√(2-a)-√(2-b)]*[√(2-a)+√(2-b)]/[√(2-a)+√(2-b)]
=[(2-a)-(2-b)]/[√(2-a)+√(2-b)]
=(b-a)/[√(2-a)+√(2-b)]
已知a≤2，b≤2
所以，√(2-a)≥0，√(2-b)≥0
所以，[√(2-a)+√(2-b)]≥0
那么：
①当a=b时，很显然有f(a)-f(b)=a-b=0
②当a≠b时，则：
i）若a＞b，则(b-a)/[√(2-a)+√(2-b)]＜0
即，A-B＜0
所以，A=f(a)-f(b)＜B=a-b
ii）若a＜b，则f(a)-f(b)＞a-b
（2）判断f(x)在(-∞，7/4)上的单调性，并求f(x)在(-∞，7/4)上的值域。
已知f(x)=x+√(2-x)
所以，f'(x)=1+(1/2)*[1/√(2-x)]*(-1)
=1-[1/2√(2-x)]
令f'(x)=0
即，1-[1/2√(2-x)]=0
===> 1/2√(2-x)=1
===> √(2-x)=1/2
===> 2-x=1/4
===> x=2-(1/4)=7/4
即，x=7/4为f(x)的极值点
已知f(x)定义域为x≤2
且，f(1)=2
f(7/4)=(7/4)+√(1/4)=(7/4)+(1/2)=9/4
则，f(7/4)＞f(1)
所以，f(x)在x=7/4取得最大值
所以，f(x)在(-∞,7/4)上单调递增，且其值域为(-∞,9/4)。
收起
