香港身份证问题
在香港每一个居民都会获发一张身份证，证上的号码一共分为 3 个部分：
第一个部分是由 1 个或 2 个英文字母所组成．
第二部分是 6 个数目字．
第三部分有 1 对括号，中间是 1 个数目字或者是英文字母 “A”。
例如：“H856249(2)” 就是一个通常见到的身份证号码了．
身份证号码秘密中的秘密：
相信年满 30 岁的居民都会记得，大约在 20 年前，身份证号码原本是没有那个括号部分的，只是某一年，政府更换了一张「电脑化」的身份证之后，才加上这个部分的。 记得当年民间就流传了很多传闻，猜测那个括号中的数字，倒底有甚麼意义。（我亦曾经听过一些传说，十分可笑，但现在不一一细表了...全部
在香港每一个居民都会获发一张身份证，证上的号码一共分为 3 个部分：
第一个部分是由 1 个或 2 个英文字母所组成．
第二部分是 6 个数目字．
第三部分有 1 对括号，中间是 1 个数目字或者是英文字母 “A”。
例如：“H856249(2)” 就是一个通常见到的身份证号码了．
身份证号码秘密中的秘密：
相信年满 30 岁的居民都会记得，大约在 20 年前，身份证号码原本是没有那个括号部分的，只是某一年，政府更换了一张「电脑化」的身份证之后，才加上这个部分的。
记得当年民间就流传了很多传闻，猜测那个括号中的数字，倒底有甚麼意义。（我亦曾经听过一些传说，十分可笑，但现在不一一细表了。）不过，自从有人在一些介绍趣味数学的刊物、网页，又或者是一些电脑杂志、教科书中解释了这个括号中的数字是怎样计算出来之后，这些传闻就渐渐消失了。
原来，这个数字是用以下方法计算出来的：
身份证号码的秘密
首先，我们将身份证号码中第一部分的英文字母，按字母的次序转换成一个数字。例如：“A” 就转成 “1”，“B” 就转成 “2”，其余的如此类推。
然后将身份证号码中的每一个数字（包括由字母转换成的数字），由左至右，分别乘以 8、7、6、5、4、3、2 等数值，并将结果加起来。（如果身份证号码有 2 个英文字母，则第一个字母应该乘以 9，其他数字则同上。
）
例如：我在上面提过的身份证号码，如果不理括号裏面的数字，应该是 “H856249”。先将 “H” 转换成 8，然后由左至右乘以上述的倍数并求和，得
8 ´ 8 + 8 ´ 7 + 5 ´ 6 + 6 ´ 5 + 2 ´ 4 + 4 ´ 3 + 9 ´ 2 = 218
跟著就按以下的步骤计算出括号中的数字：先将上述的总和除以 11，如果整除，那麼括号内的数字就等於 0；如果有余数，那麼就将 11 减该余数，所得的差就是括号内的数字了。
万一那个差等於 10，就将括号内的数字定为 “A”。
例如：在上面的例子中，我们将 218 除以 11，得余数 9，所以括号中的数字就等於 11 - 9 = 2，整个身份证号码就变成 “H856249(2)” 了。
又如果身份证号码是 “H856049”，那麼总和将会是 210，余数是 1，差是 10，所以括号中的数字就应该是 “A” 了。
多此一举？
原来身份证中的括号数字，就是这样计算出来的！不过，大家有没有想过，为甚麼我们要在原有的身份证号码后面，加多 1 个数字呢？将身份证号码裏的数字兜兜转转地计算一番，到底有甚麼意义呢？
我曾经读过一些文章，解释使用括号数字的原因，是为了防止非法入境者伪造身份证！文章作者表示：因为伪造身份证的歹徒并不知道身份证号码的秘密，当警察在街上截查身份证时，可以通过以上的计算，分辨出身份证的真伪！
不消说，相信大家都会觉得以上的解释荒谬之极！第一、既然我可以知道身份证号码的计算方法，伪造身份证的人又怎可能不知？第二、相信大多数人在计算上述身份证号码的总和与及余数时，都会用计算机来辅助计算，我很怀疑在街上巡逻的执法人员，他们是否每一位都有如此强的心算能力，能够即时进行上述的运算？故此，身份证号码中的括号数字是用来仿伪的解释，似乎并不合理。
那麼，这个数字又有甚麼用处呢？
秘密中的秘密
大家知道，不同的人会有一个不同的身份证号码，所以身份证号码是一个用来识别??民的最简单方法。我们在日常生活之中，有无数的地方，都需要到这个号码。
正因为它简单，亦正因为它重要，我们不应该在纪录或抄写的过程之中，将身份证号码搞错，否则可能会带来非常严重的后果。
但在以前，当我们印发身份证的时候，所有号码都是紧贴在一起的，例如：“H856249” 这号码之前的 “H856248” 和之后的 “H856250” 都属於另一个人。
万一我们误将 “H856249” 错写为 “H856248”，那麼就会有麻烦了！但是，这只是 1 个数字之差，我们亦不容易察觉到这个错误。
为了解决以上的问题，我们引入了一个括号数字，术语上，我们称它为「核对数位」（check digit）。
引入这个核对数位最简单的目的，就是将原本紧逼在一起的号码分开，因为我们只会从 0 至 9 或 A 中选择其中一个数字作为这个核对数位，所以每个身份证号码之间，都会有 11 个数字的「距离」。
第二、由於电脑的发明，当我们将资料输入电脑时，我们同时可以指示电脑检查那身份证的号码是否正确，从而防止输入资料时的人为错误。
事实上，检查身份证号码是否正确的方法，比计算核对数位的方法直接得多，方法如下：
首先，我们依旧将身份证号码中第一部分的英文字母转换成数字。然后将身份证号码中的每一个数字（包括核对数位），由左至右，分别乘以每个位的「位值倍数」，即 8、7、6、5、4、3、2 和 1（即将核对数位乘以 1），并将结果加起来，以后称这个值为「核对值」。
最后，将这个核对值除以 11。留意核对数位是将 11 减去前面 7 个位乘以其位值倍数之和除以 11 后的余数，故此，连同核对数位计算出来的核对值，必定能够被 11 整除。因此，如果我们发觉核对值不能被 11 整除，那麼输入的身份证号码就一定有错了。
（注意：电脑的运算速度非常之高，将身份证号码输入电脑后，一按键，它就可以完成有关的验算，相信连使用电脑的人，亦不会察觉到电脑其实已做了很多次的计算！）
例如：“H856249(2)” 是一个正确的号码，按上述方法计算出的核对值等於
8 ´ 8 + 8 ´ 7 + 5 ´ 6 + 6 ´ 5 + 2 ´ 4 + 4 ´ 3 + 9 ´ 2 + 2 ´ 1 = 220
明显这个数能够被11所整除。
假如在输入资料时，将其中 1 个位的数字或字母搞错，例如：变成 “K856249(2)”、“H856049(2)” 或 “H856249(A)”，那麼计算出来的核对值就会分别变成 244、212 和 228。
由於这些数值不能被 11 整除，因此我们便知道这些号码有错了。
事实上，如果一个身份证号码的正确核对值为 A，而在输入资料时，（由右边数起的）第 k 个位原本是 a，但现在错入成 b（a ¹ b），那麼该核对值将会变成
A - a ´ k + b ´ k = A + (b - a) ´ k
留意在这裏，除非错误发生在第一个位的英文字母上，否则 (b - a) 的绝对值和k都只会是 1 至 10 之间的数字，不会大於 11，故此 (b - a) ´ k 这个部分，不可能被 11 整除。
但因为 A 本身可以被 11 整除，所以整个核对值 A + (b - a) ´ k，便不能被 11 所整除了。由此可以知道输入的资料有错。
当然，应用核对值的方法有一个死穴，就是头一个字母如果错入了一个和原本字母相隔 11 个位的字母，例如：将 “H856249(2)” 错入成 “S856249(2)”（其核对值为 308，可以被 11 整除），那麼电脑亦无法知道到输入的资料有错了。
不过，相信发生如此错误的机会极之小，所以这个方法亦相当可靠。
还有，如果输入资料时出现 2 处或以上的错误，例如：将 “H856249(2)” 错入成 “H856049(A)”，我们亦无法将错误检查出来。
（当然，如果太容易出现 2 处的输入错误，那麼我认为最佳的解决办法，就是辞退那位输入员，改聘另一位更可靠的人选了！）
另一个秘密
留意在上面的讨论中，那个位值倍数其实没有多大的作用。
事实上，如果我们不乘上任何倍数而直接将所有数位加起来，再定出一个核对数位，我们依然可以检查出输入资料时（1 处）的错误。那麼，我们为甚麼需要加入这个位值倍数呢？
原来这亦是用来防止一般人一个容易犯上的错误，这就是误将其中的两个数字的位置对调。
例如：将 “H856249(2)” 错误地变成 “H856294(2)”。
我们再假设正确身份证号码的核对值为 A，第 k 位的数字为 a，第 k + n 位的数字为 b（a ¹ b；n ³ 1），如果我们错误地将 a、b 两个数字对调了，那麼该核对值便会变成
A - a ´ k - b ´ (k + n) + a ´ (k + n) + b ´ k = A + (a - b) ´ n
同理，a、b 和 n 都只会是 0 至 9 之间的数字，故此 (a - b) ´ n 这个部分，以至是整个核对值，都不能被 11 所整除，由此可以知道输入的资料有错了。
留意如果没有这个位值倍数，我们就无法侦测出这种错误了。
总而言之，身份证号码中的核对数位，是一个简单但非常聪明的设计，它可以让我们很容易地侦测出输入资料时的两种常犯的错误，从而确保资料的可靠性。
在整个过程中，亦请大家细心欣赏 11 这个数字的功用。由於 11 是一个质数（而且刚好大於 10），任何两个小於它的数字相乘，都不能被它所整除，所以才能够在上述运算中，找到输入时的错误。如果换了一个合成数，情况就不同了。
例如：12，我们知道 4 和 6 都小於 12，但 4 ´ 6 的结果，却能被 12 所整除，因此 12 不可以用来做核对过程中的除数。
。收起
