如图所示，三角形ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E F 分别是AB AC 边上的点，且DE垂直DF 若BE=12 CF=5 求三角形DEF的面积
法一（最容易计算）
将三角形ABC补成正方形ABPC（以BC为对角线），延长ED、FD分别交PC、BP于H、G，连接EG、HF，容易证明三角形AEF、BGE、PGH、CHF都全等（EFHG为正方形），且两直角边长分别为12、5，所以大正方形边长为17，正方形EFHG边长为13，所以三角形DEF面积为169/4。
法二
连接AD，由条件可知，AB=AC=12+x=5+y（AE=x,AF=y),y=7+x
过E、F分别作EM垂直BC于M，FN垂直BC于N，BM=12/√2,CN=5/√2
BC=(12+x)√2,BD=(12+x)/√2,所以可知x=5,y=12
EF=13，由上述还可知，...全部
法一（最容易计算）
将三角形ABC补成正方形ABPC（以BC为对角线），延长ED、FD分别交PC、BP于H、G，连接EG、HF，容易证明三角形AEF、BGE、PGH、CHF都全等（EFHG为正方形），且两直角边长分别为12、5，所以大正方形边长为17，正方形EFHG边长为13，所以三角形DEF面积为169/4。
法二
连接AD，由条件可知，AB=AC=12+x=5+y（AE=x,AF=y),y=7+x
过E、F分别作EM垂直BC于M，FN垂直BC于N，BM=12/√2,CN=5/√2
BC=(12+x)√2,BD=(12+x)/√2,所以可知x=5,y=12
EF=13，由上述还可知，DE=DF
所以DEF的面积为169/4
法三
设BC=x，则AB=AC=x/√2,AE=x/√2-12,AF=x/√2-5
DE^2=BD^2+BE^2-2BD*BEcos45=x^2/4+144-12x√2
DF^2=CD^2+CF^2-2CD*CFcos45=x^2/4+25-5x√2
又AE^2+AF^2=DE^2+DF^2
可得x=17√2
进而可得AE=5,AF=12，接下来同前可得结果
法四
从前面做法可知，只要证明DE=DF即可
连接AD，则AD=DC=BD，角BAD=ACD=45度，角ADE=CDF
所以三角形AED与三角形CFD全等，接下来不再赘述
。
收起
