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己知△ABC是正三角形,D是边BC的中点,E,F分别在边CA,AB上,且∠EDF=60°,BC=2. 求证△AEF的周长是正△ABC周长的一半.

己知△ABC是正三角形,D是边BC的中点,E,F分别在边CA,AB上,且∠EDF=60°,BC=2。 求证△AEF的周长是正△ABC周长的一半。 证明 设BF=x,CE=y,EF=z。 因为△ABC是正三角形,D是边BC的中点,∠EDF=60°, 所以△DBF∽△ECD。 故BF/BD=CD/CE xy=1。 (1) 在△DBF,△ECD,△EAF,△EDF中,由余弦定理得: DF^2=x^2-x+1; (2) DE^2=y^2-y+1; (3) z^2=(2-x)...全部

  己知△ABC是正三角形,D是边BC的中点,E,F分别在边CA,AB上,且∠EDF=60°,BC=2。 求证△AEF的周长是正△ABC周长的一半。 证明 设BF=x,CE=y,EF=z。
   因为△ABC是正三角形,D是边BC的中点,∠EDF=60°, 所以△DBF∽△ECD。 故BF/BD=CD/CE xy=1。 (1) 在△DBF,△ECD,△EAF,△EDF中,由余弦定理得: DF^2=x^2-x+1; (2) DE^2=y^2-y+1; (3) z^2=(2-x)^2+(2-y)^2-(2-x)(2-y); (4) z^2=DE^2+DF^2-DE*DF。
   (5) (1),(4) z^2=x^2+y^2-2x-2y+3 (6) (2),(3) (x^2-x+1)*(y^2-y+1)=x^2+y^2-2x-2y+3 (7) 即得: DE*DF=z (8) 将(8)代入(5)得: z^2=x^2+y^2-x-y+2-z (9) (9)-(6)得: z+1-x-y=0 z+(2-x)+(2-y)=3 故△AEF的周长为正△ABC周长的一半。
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