C=4;5 则 A=?B=?

设ΔABC的三边长为BC=a,CA=b,AB=c。求证: (1)ΔABC为锐角的充要条件是: a^3*cosA+b^3*cosB+c^3*cosC>abc; (2)ΔABC为钝角的充要条件是: a^3*cosA+b^3*cosB+c^3*cosC

a^3*cosA+b^3*cosB+c^3*cosC-abc =a^3*(b^2+c^2-a^2)/(2bc) +b^3*(c^2+a^2-b^2)/(2ca) +c^3*(a^2+b^2-c^2)/(2ab)-abc =(a^4*b^2+a^4*c^2-a^6+b^4*c^2+b^4*a^2-b^6+c^4*a^2+c^4*b^2-c^6-2*a^2*b^2*c^2)/(2*a*b*c) =(b^2+c^2-a^2)*(c^2+a^2-b^2)*(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b*c)。 记 P=b^2+c^2-a^2，Q=c^2+a^2-b^2，R=a^2+b^2-c^2， ...全部

  a^3*cosA+b^3*cosB+c^3*cosC-abc =a^3*(b^2+c^2-a^2)/(2bc) +b^3*(c^2+a^2-b^2)/(2ca) +c^3*(a^2+b^2-c^2)/(2ab)-abc =(a^4*b^2+a^4*c^2-a^6+b^4*c^2+b^4*a^2-b^6+c^4*a^2+c^4*b^2-c^6-2*a^2*b^2*c^2)/(2*a*b*c) =(b^2+c^2-a^2)*(c^2+a^2-b^2)*(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b*c)。
   记 P=b^2+c^2-a^2，Q=c^2+a^2-b^2，R=a^2+b^2-c^2， 则 P+Q+R=a^2+b^2+c^2＞0，所以【P、Q、R 中至少有一个正数】。 三角形中至多有一个钝角，所以【P、Q、R 中至多有一个负数】，据此可知【P、Q、R 中至少有两个正数】。
   (1)a^3*cosA+b^3*cosB+c^3*cosC＞abc P*Q*R＞0 P，Q，R 全是正数 ΔABC为锐角三角形。 (2)a^3*cosA+b^3*cosB+c^3*cosC＜abc P*Q*R＜0 P，Q，R 中有且仅有一个为负数， ΔABC为钝角三角形。
   。收起