简单介绍下双曲函数，定义什么的
在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。
因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。
定义
双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：
sinh / 双曲正弦： sinh(x) = [e^x ...全部
在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。
因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。
定义
双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：
sinh / 双曲正弦： sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2
cosh / 双曲余弦： cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2
tanh / 双曲正切： tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]
coth / 双曲余切： coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]
sech / 双曲正割： sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]
csch / 双曲余割： csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]
其中，
e是自然对数的底
e≈2。
71828 18284 59045。。。= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!。。。+ 1/n! +。。。
e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是:
e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!。
。。+ x^n/n! +。。。
如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t, sinh t) 定义了右半直角双曲线 x^2 − y^2 = 1。这基于了很容易验证的恒等式
cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1
和性质 t > 0 对于所有的 t。
双曲函数是带有复周期 2πi 的周期函数。
参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点 (cosh t, sinh t) 的直线之间的面积的两倍。
函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。
函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh -x 且 sinh 0 = 0。
与三角函数的关系
双曲函数与三角函数有如下的关系:
* sinh x = -i * sin(i * x)
* cosh x = cos(i * x)
* tanh x = -i * tan(i * x)
* coth x = i * cot(i * x)
* sech x = sec(i * x)
* csch x = i * csc(i * x)
i 为虚数单位,即 i * i = -1
恒等式
与双曲函数有关的恒等式如下:
cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1
* 加法公式：
sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y)
cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y)
tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)]
* 二倍角公式：
sinh(2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x)
cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1
* 半角公式：
cosh^2(x / 2) = (cosh(x) + 1) / 2
sinh^2(x / 2) = (cosh(x) - 1) / 2
双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。
Osborn's rule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时(包括coth^2(x), tanh^2(x), csch^2(x), sinh(x) * sinh(y))则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。
如
* 三倍角公式：
sin(3 * x) = 3 * sin(x) − 4 * sin(2 * x)
sinh(3 * x) = 3 * sinh(x) + 4 * sinh(2 * x)
* 减法公式：
cos(x − y) = cosh(x) * cosh(y) + sin(x) * sin(y)
cosh(x − y) = cosh(x) * cosh(y) − sinh(x) * sinh(y )
。
收起
