数学染色问题如何理解?
例:用任意的方式给平面上的每一个点染上蓝色或红色。求证: 一定存在一个边长为1或\/5"的正三角形,它的三个顶点是同一颜 色的。分析:本题实际上是平面上的点任意分为两类,一定存在边长为 1或W的正三角形,它的三个顶点属同一类。 直接构造证明不大可能,®此,从结论的反面人手考虑。证明:假设不存在边长为1的、顶点同色的正三角形,那么我们一定能找到两点4、仏使得4B=1且4、B不同色。以AB为底边作腰长为2的等腰三角形,设顶点为C,则C与4或C与B总有一对是 异色的,不妨设4与C异色,4C的中点M可设为与4同色。 由于不 存在边长为1的同色顶点的三角形,所以,以为一边的等边三角 形的另外的顶...全部
例:用任意的方式给平面上的每一个点染上蓝色或红色。求证: 一定存在一个边长为1或\/5"的正三角形,它的三个顶点是同一颜 色的。分析:本题实际上是平面上的点任意分为两类,一定存在边长为 1或W的正三角形,它的三个顶点属同一类。
直接构造证明不大可能,®此,从结论的反面人手考虑。证明:假设不存在边长为1的、顶点同色的正三角形,那么我们一定能找到两点4、仏使得4B=1且4、B不同色。以AB为底边作腰长为2的等腰三角形,设顶点为C,则C与4或C与B总有一对是 异色的,不妨设4与C异色,4C的中点M可设为与4同色。
由于不 存在边长为1的同色顶点的三角形,所以,以为一边的等边三角 形的另外的顶点D及£必有与4异色,这时ACD£即是三个顶点同色,而边长又恰为VI的正三角形。例:把集合M={1、2、……1987}的元素用四种颜色涂色。
求证:至少存在一种涂色方法,使得A中任何成等差数列的10 项不是同一种颜色。由于要使得M中至少存在等差数列的10项是同一颜色的涂色法, 而总数要小于集合M的四种染色法总数,因此,可以断言至少存在一 种涂色法,使得M中任何成等差数列的10项都不是同一种颜色。收起