四边形问题四边形问题
四边形ABCD有内切圆，该四边形面积为√(AB*BC*CD*DA) ，
求证: 四边形ABCD必有外接圆.
四边形ABCD有内切圆，该四边形面积为√(AB*BC*CD*DA) ，
求证: 四边形ABCD必有外接圆。
证明 连AC,设AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，S表示四边形ABCD的面积。
由余弦定理得:
AC^2=a^2+b^2-2ab*cosB=c^2+d^2-2cd*cosD (1)
因为四边形ABCD有内切圆，则a+c=b+d，所以有
a^2+b^2-2ab=c^2+d^2-2cd (2)
[(1)-(2)]/2得:ab-ab*cosB=cd-cd*cosD,即
ab*cosB-cd*cosD=ab-cd (3)
由已知条件及根据三角形面积得:...全部
四边形ABCD有内切圆，该四边形面积为√(AB*BC*CD*DA) ，
求证: 四边形ABCD必有外接圆。
证明 连AC,设AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，S表示四边形ABCD的面积。
由余弦定理得:
AC^2=a^2+b^2-2ab*cosB=c^2+d^2-2cd*cosD (1)
因为四边形ABCD有内切圆，则a+c=b+d，所以有
a^2+b^2-2ab=c^2+d^2-2cd (2)
[(1)-(2)]/2得:ab-ab*cosB=cd-cd*cosD,即
ab*cosB-cd*cosD=ab-cd (3)
由已知条件及根据三角形面积得:
2S=2√(abcd)=ab*sinB+cd*sinD,即
ab*sinB+cd*sinD=2√(abcd) (4)
(3)^2+(4)^2得:
(ab)^2+(cd)^2-2abcd*cos(B+D)=(ab-cd)^2+4abcd=(ab)^2+(cd)^2+2abcd。
所以得:cos(B+D)=-1，于是∠B+∠D=180°。
故四边形ABCD必有外接圆。证毕。
。收起
