一道很难的高中物理竞赛题，求各路神仙前来
1。根据动能定理
1/2mv²-1/2mV0²=mgh,
其中，h表示小球下降的竖直高度，由于磁性力和半球体对小球支持力始终与小球速度方向垂直，磁性力和支持力不做功。由上式得
v=√(2gh),(初速V0太小，当V0=0)------原谅我用√(。 。。)表示开平方！
2。重力做功
dW=Pdt=Fvdt=mgsinθvdt,
其中，P为瞬时功率，F为切向力，与速度v同方向，F=mgsinθ,θ为小球相对竖直方向转过的角度
又dW=d(mgh)=mgdh，于是
mgdh=mgsinθvdt
dh=sinθvdt
dt=dh/(sinθv)
=dh/[sinθ√(2gh...全部
1。根据动能定理
1/2mv²-1/2mV0²=mgh,
其中，h表示小球下降的竖直高度，由于磁性力和半球体对小球支持力始终与小球速度方向垂直，磁性力和支持力不做功。由上式得
v=√(2gh),(初速V0太小，当V0=0)------原谅我用√(。
。。)表示开平方！
2。重力做功
dW=Pdt=Fvdt=mgsinθvdt,
其中，P为瞬时功率，F为切向力，与速度v同方向，F=mgsinθ,θ为小球相对竖直方向转过的角度
又dW=d(mgh)=mgdh，于是
mgdh=mgsinθvdt
dh=sinθvdt
dt=dh/(sinθv)
=dh/[sinθ√(2gh)]
其中sinθ=√[R²-(R-h)²]/R=√(2Rh-h²)/R
dt=Rdh/[√(2Rh-h²)(√(2gh)]
3。
上式两边积分
t=∫dt
=∫Rdh/[√(2Rh-h²)(√(2gh)]
=R/[√(2g)]∫dh/[h√(2R-h)]
=1/2·√(R/g)·ln|[√(2R-h)-√(2R)]/√(2R-h)+√(2R)]|+C
时间积分范围0至T，而h积分范围0至R，求定积分得
T=1/2·√(R/g)·ln|[√(2R-R)-√(2R)]/√(2R-R)+√(2R)]|-1/2·√(R/g)·ln|[√(2R-0)-√(2R)]/√(2R-0)+√(2R)]|
=1/2·√(R/g)·[ln|(1-√2)/（1+√2)|-ln|0/2√2|]
=∞-------这个结果看起来很不合理，原因就在于把初速度当作零，实际上，如果初速度真的为零，小球就在顶点永远静止，下滑时间就是无穷大------
如果考虑初速度，重复以上计算得，V0=√(2gh+V0²),
t=R/(2g)·∫dh/{√[h(h+V0²/2g)]√(-h+2R)}+C
求定积分可得有限结果。
收起
