求级数的收敛区间

我一直不太理解极限保号性定理,请问可否帮

正项数值级数 一。概念： 　　定义6。5 对于数值级数 则称级数为正项级数。 注意：由于级数的每一项 都非负（有些可以为0）所以严格说应是非负项级数，只是习惯上称为正项级数。 　　正项级数的最大特点是它的部分和数列是单调增的。 　　而由数列的单调有界原则，只要其部分和数列上方有界，它就是收敛的。由此我们体会到为什么我们先讨论这一类特殊级数的原因了。 　　定理6。4 正项级数收敛的充要条件是部分和数列上方有界。 　　强调说明这一定理的重要意义：本来数值级数的收敛性是以其部分和数列的极限存在来确定的。极限值仅是一个唯一的数，要确定其存在性是很困难的，曾在第一章已深有体会。（函数求极...全部

  正项数值级数 一。概念： 　　定义6。5 对于数值级数 则称级数为正项级数。 注意：由于级数的每一项 都非负（有些可以为0）所以严格说应是非负项级数，只是习惯上称为正项级数。 　　正项级数的最大特点是它的部分和数列是单调增的。
   　　而由数列的单调有界原则，只要其部分和数列上方有界，它就是收敛的。由此我们体会到为什么我们先讨论这一类特殊级数的原因了。 　　定理6。4 正项级数收敛的充要条件是部分和数列上方有界。
   　　强调说明这一定理的重要意义：本来数值级数的收敛性是以其部分和数列的极限存在来确定的。极限值仅是一个唯一的数，要确定其存在性是很困难的，曾在第一章已深有体会。（函数求极限方法还很多，相对来说数列求极限要困难得多）而现在，在正项级数这个范畴内，它却变成了判断部分和数列的上方有界性。
  作为上界是很多的。只要有界，上界不妨取大点，所以相对说要方便得多。特别的根据这一特性，归纳出一个有用的比较原理。 比较原理 　　1) 定理6。5 　　　 2) 证明思路就是根据部分和数列收敛必有界，再由极限的不等式性质知小的级数的部分和数列上方有界。
   3) 这个定理的通俗记法为：关于正项级数，两个有不等关系时大的收则小的收，小的发则大的发。 比较原理的功用是明显的。首先对于一个已给正项级数，可用放大缩小法将其变为较好判断的形式来判断，其次，更主要的是我们可以讨论出一些特殊的收敛（或发散）的级数，把它们作为一些尺度去比较判别各种正项级数的敛散性了。
  为了贯彻这一思路我们在这里来给出一些类似尺度的特殊级数。 4) 特殊的级数举例 例子 5）比较原理形式上的改进。 尽管比较原理在判断正项级数的敛散性时已比原先我们用部分和数列的极限求取方便多了，但是仍有许多限制，实用上还有待改进，比如找尺度级数比较并不是刚好合适。
  若是将其放大缩小，必须事先有个预测。若估计它收敛，则将其放大后，验被放大的级数的收敛性，假如稍放大了一点得到的级数发散了，此法运用又失败了。任给一个级数，是否刚好就放得这么合适呢？显然操作性很差。
  历史上许多人做了这个工作，我们学习中主要的一个结果是 D’Alembert和Cauchy的很好用的结果。要推出它们还得对比较原理做些改进。 　1º 比较原理推论1 　　对于正项级数 和 ，在某个 之后的 ，若有 　　当 收敛，则 收敛 　　当 发散，则 发散 　　证明很简单（从略），它比定理6。
  5的改进在去掉有限项不满足不等都行，且 和 间本来未必有 但乘上一个 的倍数后有 成立就行。这样扩大了运用的范围。但这个推论仍没有获得根本上的改进。 　2º 比较原理推论2 　　对于正项级数 和 ，若 　　当 收敛，则 收敛，或 发散，则 发散 　3º 有了以上的准备，以下我们将给出两个非常好用且实际工作中主要应用的正项级数敛散性的判别法。
   　　(1) 比值判别法（又称为D’Alembert判别法） 　　定理6。6 　　对于正项级数 　　证明：若 , 使得 　　当 充分大之后，由极限的保号性可知 　　 　　可以想象 是几何级数 的公比，而 知 收敛，利用以上比较原理时推论2知 收敛。
   　　同理可证，当 时情况类似讨论得 发散。 　　解释： 这个判别法的实质是无论什么样的正项级数，我们都是与几何级数这个尺度进行对比。而它比前面所有比较原理的形式都好用的原因是方法中仅用到被讨论级数自身的信息：即后项与前项之比的极限值。
  顾名思义称为比值判别法。这是首先由法国数学家D’Alembert达郎贝尔）所创，有些书以它的名字命名，可见其重要性。 　　它也仅是个充分条件，当 时，判别敛散就失败了。若要判别只有用另外的充分条件了。
   (2) 根值判别法（又称为Cauchy判别法(柯西)） 定理6。7 　　对于正项级数 若 　　证明类似于6。6，以收敛为例 　　当 使得 ，当 充分大时，由极限保号性 　　将 看成几何级数 的一般项且知 时 收敛由比较原理知 收敛。
   　　从证明中也可看出根值判别法也是以几何级数为尺度的比较原理，也是充分条件且和比值判别法属同一级别，所不同的是形式上为级数一般项的 次方根的极限。若遇级数一般项 的表达式指数上有 时用它更方便。
   　　6）关于级数判别的尺度级数。 　　级数收敛时还有收敛的速度问题，有些收敛得快，有时收敛得慢，比如几何级数 就比 级数 的收敛速度更快。不难验知对于同样的 （充分大后） ，即前一个部分和与其和数之差小于后一个。
  也就是说它很快就收于其和数了，而后者要慢些。 　　以下罗列出作为尺度的比较级数且说明其快慢 　　收敛性：最快 慢 　　发散性：最快 慢 　　这些速度越快的，用起来越方便，但作为尺度越粗糙，衡量的范围越窄。
  速度越慢的用起来越不方便。而因尺度的细腻判别的范围就越广。犹如度量长度，有公里，米，厘米等，若重庆到成都都用公里去度量相对容易，用米去度量很麻烦，而房屋的高度用公里已不能度量而用米仍可度量。 　　D’Alembert判别法和Cauchy判别法都是速度在最粗糙的几何级数尺度之上的度量，很好用，但衡量的范围窄，当 时失效了。
  于是必须用更高一级的判别法：基于p级数 的度量判别法：（Raabe（拉贝尔）判别法）再进一步更细致的有Gause（高斯判别法）等，逼近论中许多人在这上面做着大量的工作。 　　就我们现在的程度，仅到几何级数为尺度的这两个判别法就已经足够了。
  更深入细致的问题留给数学家去作。 一般项数值级数 　　前一段讨论的正项级数（或称为非负项级数）的敛散性的判别完全可类似推广到负项级数（或称为非正项级数）中去，注意若要完整提一套体系，由于负项级数的部分和数列是单调减下方有界，全部结论中的不等号要变，很麻烦。
  实际上我们只要级数各项都乘一个负号就转换成正项级数了，没必要再另做一份。另外根据前面的定理6。1,只要级数出现有限多项反号的仍可以一样地由上一段的内容进行判断。可见现在只有异号的项都有无穷多的数值级数还未解决了，这其中又有一种特殊的交错级数可先解决。
   1、交错级数的敛散性 　　1） 定义6。6 　　若数值级数的各项正负相间称为交错级数，记为: 　　　　 　　2） 交错级数敛散性的Leibniz判别法 1º 定理6。
  8 　　若交错级数 满足单调减，即 且 则必收敛并且其和数 余项的绝对值 2º 解释： 　　定理的条件是两个，通俗的记法是交错的一般项数列 单调减趋于0则必收敛。注意实用中要把符号排斥在外，而比定理还多得了两个附加结论 , 。
   　　这两个结论在我们后面定量讨论的近似计算时有重要的作用。 　　证明思路用了点小技巧。将其部分和数列的偶项 和奇项 分别为两个数列验之后用数列单调有界原则来处理。具体证明见教材p296 　　例： 的敛散性 　　解：它是交错级数且 且 　　由Leibniz判别法知其收敛且 　　注意这个级数 与调和级数 的差别， 是发散的。
   2、 一般项数值级数的敛散性。 　　若数值级数 的正项负项都有无穷多，又不是相互交叉，前面的判别法都失效了，其敛散性如何判别呢? 　　1）一般项数值级数的绝对值级数的定义 　　定义6。
  7 级数 的每项取绝对值所成级数 称为原级数的绝对值级数。 　　2）敛散意义下两者的关系 　　1º 定理6。9 若 收敛，则 也收敛， 反之不然。 　　2º 证明：由绝对值性质知: 由正项级数的比较原理知 收敛时, 级数也收敛。
   　　再根据收敛级数的差也收敛得 逆命题不成立。即若 收敛未必有 收敛，举一反例即可。就用前面所给例子 　　 是收敛的，但 发散。 　　3） 绝对收敛和条件收敛的概念 　　1º 定义6。
  8 　　若 和其绝对值级数 都收敛，则称 绝对收敛。 　　若 收敛但是它的绝对值级数 发散，则称 是条件收敛。 　　2º 解释: 　　这里的绝对收敛，条件收敛概念在正项级数时是没必要的，而是一般项数值级数中才有。
  定理6。9给我们提供了一般数值级数敛散性判别的思路；对于数值级数 首先做出其绝对值级数 可由正项级数的判别法验其收敛性。若收敛则绝对收敛了，若发散再讨论 本身是否条件收敛。我们这里仅有交错级数的Leibniz判别法。
  对于我们的程度和需要已经足够了。深入一点对于一般数值级数 的判别法还有 Abel（阿贝尔）判别法和Dirichlet（狄里克雷）判别法，其内容较深且运用范围也不广，若有兴趣的同学可以参考数学分析教材，我们不做要求。
   　　绝对收敛与条件收敛关于一般项数值级数的本质特性是有很大区别的。曾经德国数学家 Rieman（黎曼）证明一个结论即 　　若 条件收敛， 经合理的重新排序后 　　这一结论说明条件收敛数值级数经重新排序（即运用加法交换律结合律）可以收敛于任何数，这一使人震惊的结果说明一般数值级数 只有在绝对收敛时，加法才满足交换律，结合律。
  可见两者的本质差别。 。收起