一个非常诡异的题目在一个半径为1
其实这问题超出了一般学生的理解能力了, 之前有好多类似的帖子。。。 有空得总结一下。 问题的症结在于概率的直观理解和数学理解的差异。 不过我也不是学概率的, 只能大概谈自己的理解。
因为我们平时大多面对的是古典概型, 很自然地把概率和频率对应上, 也很自然地将概率 0 与不可能, 概率 1 与必然 画上等号。 然而在面对无限的问题上, 很多有限的, 古典的处理手法并不适用。 我们已经有太多这样的例子了。
对 LZ 问题的解答, 我们通常引用几何概型来说, 譬如 LS 几位老师的例子, 在一个区间上任取一点的概率为零, 但这件事情又的确可能发生。 这就好比一条线段上的一点, 它是确实...全部
其实这问题超出了一般学生的理解能力了, 之前有好多类似的帖子。。。 有空得总结一下。 问题的症结在于概率的直观理解和数学理解的差异。 不过我也不是学概率的, 只能大概谈自己的理解。
因为我们平时大多面对的是古典概型, 很自然地把概率和频率对应上, 也很自然地将概率 0 与不可能, 概率 1 与必然 画上等号。
然而在面对无限的问题上, 很多有限的, 古典的处理手法并不适用。 我们已经有太多这样的例子了。
对 LZ 问题的解答, 我们通常引用几何概型来说, 譬如 LS 几位老师的例子, 在一个区间上任取一点的概率为零, 但这件事情又的确可能发生。
这就好比一条线段上的一点, 它是确实存在的, 但是长度为零。 我们能用长度为零来说明这个点不存在吗? 很明显是不行的。 同样的, 概率为 0 也不能说明这件事不能发生。通常来说, 把一个粉笔头扔到地上, 你不会估算一个粉笔头落在某点的概率, 而是估算落在某个区域内的概率。
因此几何概型与人们的直观也不会相离太远。
更进一步的理解是, 直观上的概率和公理化的概率是有区别的。 数学上的概率是用测度来刻画的, 通俗来说就是长度, 面积, 体积等等, 数学上把概率完全等同于测度。
我们说一个点的长度是零, 因此在一个区间均匀地随机选点恰好选到指定的点的概率是零, 这简直是按数学上的需要直接"定义"出来的。 而从一个区间均匀地随机选点,选出有理点的概率也是零, 因为有理点在某一个区间中的"测度"是零, 也是定义出来的 ( 甚至对代数数也是这样), 这跟直观上对概率的理解已经有差异。
( 甚至对均匀的定义也要用数学的方法来说明, 我们完全可以定义出另外一种概率模型使得在一个区间中选得某个点的概率是 50% )。 但这是因为数学的需要而采取这样的处理, 而不一定事实上的确是这样。
只是因为这样的处理大部分时候都能应用到实际生活中, 同时在数学上建立了严格的基础, 因此数学家都采取了这种方式。 。收起
