高二已知正方体ABCD-A1B1
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a
(1)求二面角A1-BD-C1的大小
如图（红色线）连接A1C1，取BD中点O，连接A1O、C1O
因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，且其棱长为a
那么，A1D=A1B=BD=C1D=C1B=A1C1=√2a
即，△A1BD和△C1BD均为等边三角形
已知，点O为边BD的中点
所以，A10⊥BD、C1O⊥BD
所以，∠A1OC1为二面角A1-BD-C1的平面角
由于△A1BD和△C1BD均为边长是√2a的等边三角形
所以，A1O=C1O=(√2a)*(√3/2)=(√6a)/2
所以，在△A10C1中，由余弦定理有：
cos∠A1OC1...全部
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a
(1)求二面角A1-BD-C1的大小
如图（红色线）连接A1C1，取BD中点O，连接A1O、C1O
因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，且其棱长为a
那么，A1D=A1B=BD=C1D=C1B=A1C1=√2a
即，△A1BD和△C1BD均为等边三角形
已知，点O为边BD的中点
所以，A10⊥BD、C1O⊥BD
所以，∠A1OC1为二面角A1-BD-C1的平面角
由于△A1BD和△C1BD均为边长是√2a的等边三角形
所以，A1O=C1O=(√2a)*(√3/2)=(√6a)/2
所以，在△A10C1中，由余弦定理有：
cos∠A1OC1=(A1O^2+C1O^2-A1C1^2)/(2*A1O*C1O)
=[(√6a/2)^2+(√6a/2)^2-(√2a)^2]/[2*(√6a/2)*(√6a/2)]
=[(3a^2/2)+(3a^2/2)-2a^2]/[2*(3a^2/2)]
=a^2/(3a^2)
=1/3
所以，cos∠A10C1=arccos(1/3)
（2）求证：AC1垂直面A1BD
连接AC1、AC、A1D
因为底面ABCD为正方形，AC、BD为对角线
所以，AC⊥BD
又，CC1⊥面ABCD，所以：CC1⊥BD
所以，BD⊥面ACC1
所以，AC1⊥BD
同理，因为AD1⊥A1D，C1D1⊥A1D
所以，A1D⊥面AC1D1
所以，AC1⊥A1D
则，AC1⊥面A1BD
(3)求点C1到平面A1BD的距离
设AC1交面A1BD于点P
由(2)的证明知，C1P⊥面A1BD，AP⊥面A1BD
则，C1P为点C1到面A1BD的距离
因为AA1=AB=AD=a，A1D=BD=A1B=√2a
所以，四面体A-A1BD为正三棱锥
则，点P为底面等边△A1BD的中心
所以，A1P=(2/3)A1O=(2/3)*(√6a/2)=(√6a)/3
所以，在Rt△APA1中，由勾股定理有：
AP^2=AA1^2-A1P^2=a^2-(√6a/3)^2=a^2/3
所以：AP=√3a/3
而，AC1为正方体的对角线，所以：AC1=√3AB=√3a
所以，C1P=AC1-AP=√3a-(√3a/3)=(2√3a)/3
即，C1到面A1BD的距离为C1P=(2√3a)/3。
收起
