请教一道高一数学题 急急,谢谢
定义在正实数上的函数f(x) 满足1:f(x) 不恒为零 2:对任意实数x,y都有f(x的y次方)=yf(x) 1,求证:方程f(x)=0 有且只有一个实数根 2,若a＞b＞c＞1,a+c=2b 求证: f(a)f(c)＜f的2次方(b ) 3,f(1/3)＜0 求证:f(x)是正实数集上的增函数
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1、f(1)＝f（2^0）＝0f(2)＝0，所以方程f(x)=0 有实数根；若方程f(x)=0 还有另外一个实数根a，a≠1，则对于任意的正实数b，一定存在k，使得b＝a^k，所以f(b)＝f(a^k)＝kf(a)＝0。
这样f(x)就恒等于0了，与题意矛盾。 所以方程f(x)=0 有且只有一个实数根。 3、利用题意可以证明：f(xy)＝f(x)+f(y)（设y＝x^k，则f(xy)＝f(x^(k+1)）＝(k+1)f(x)＝f(x)+f(y)） 再由f(1/3)1时，f(x)>0。
所以对于任意的正实数x，y，x时，f(y)>f(x)。所以只讨论x，y同小于1或者大于1的情形。 以x，y大于1为例。则存在t>1，使得y＝x^t。 f(y)－f(x)＝f(x^t)－f(x)＝tf(x)－f(x)＝（t－1）f(x)>0。
所以f(x)是正实数集上的增函数。 。
这样f(x)就恒等于0了，与题意矛盾。 所以方程f(x)=0 有且只有一个实数根。 3、利用题意可以证明：f(xy)＝f(x)+f(y)（设y＝x^k，则f(xy)＝f(x^(k+1)）＝(k+1)f(x)＝f(x)+f(y)） 再由f(1/3)1时，f(x)>0。
所以对于任意的正实数x，y，x时，f(y)>f(x)。所以只讨论x，y同小于1或者大于1的情形。 以x，y大于1为例。则存在t>1，使得y＝x^t。 f(y)－f(x)＝f(x^t)－f(x)＝tf(x)－f(x)＝（t－1）f(x)>0。
所以f(x)是正实数集上的增函数。 。
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