二阶常系数非齐次线性方程的特征方
为了书写习惯起见，将问题中的记号改一下：
在求解二阶常系数非齐次线性方程，即y''+py'+qy=f(x)过程中，设f(x)=Q(x)exp(ux)，其中Q(x)是一个m次多项式;再设y=z(x)exp(ux)，计算出的一阶和二阶导数，代入该二阶常系数非齐次线性方程，得到：
(u^2+pu+q)z+(2u+p)z'+z''=Q(x),
之后分三种情况进行讨论，分别是：
1、u不是特征方程的根：
2、u是特征方程的单根：
3、u是特征方程的重根；
……
这我就不理解了，特征方程是怎么回事？它的解为什么与方程的解有关系？
释疑：
二阶常系数非齐次线性方程：y''+a1y'+a2y=q(x)ex...全部
为了书写习惯起见，将问题中的记号改一下：
在求解二阶常系数非齐次线性方程，即y''+py'+qy=f(x)过程中，设f(x)=Q(x)exp(ux)，其中Q(x)是一个m次多项式;再设y=z(x)exp(ux)，计算出的一阶和二阶导数，代入该二阶常系数非齐次线性方程，得到：
(u^2+pu+q)z+(2u+p)z'+z''=Q(x),
之后分三种情况进行讨论，分别是：
1、u不是特征方程的根：
2、u是特征方程的单根：
3、u是特征方程的重根；
……
这我就不理解了，特征方程是怎么回事？它的解为什么与方程的解有关系？
释疑：
二阶常系数非齐次线性方程：y''+a1y'+a2y=q(x)exp(ux)， (1)
其中q(x)是一个m次多项式；
相应的齐次线性方程：
y''+py'+qy=0， (2)
齐次线性方程(2)的特征方程：
r^2+pr+q=0 （3）
关于特征方程(3)的由来这里不再解释；
下面要说明的是：特征方程(3)的解不仅与齐次方程(2)的通解相关，而且与非齐次方程(1)的通解密切相关。
理由如下：
(I)特征方程(3)的根是用来构造齐次方程(2)的两个线性无关的特解 y1(x)和y2(x)的，而齐次方程(2)的通解就是这两个特解的线性组合，即
Y(x)=c1*y1(x)+c2*y2(x)。
(II)设非齐次线性方程的一个特解y*=z(x)exp(ux)，并代入非齐次线性方程，得到：
z''+(2u+p)z'+(u^2+pu+q)z=Q(x), (4)
(i)若u不是特征方程(3)的根，则u^2+pu+q≠0,由(4)知z(x)是m次多项式(注意：(4)的左边三项中最后一项的次数最高),故设(1)的特解为：
y*=Qm(x)*exp(ux)。
(ii)若u是特征方程(3)的单根，则u^2+pu+q=0,但2u+p≠0，此时(4)成为
z''+(2u+p)z'=Q(x), (5)
可见z'是m次多项式，从而z(x)是m+1次多项式，故设(1)的特解为：
y*=xQm(x)*exp(ux)。
(iii)若u是特征方程(3)的重根，则u^2+pu+q=0,且2u+p=0，此时(4)成为
z''=Q(x), (6)
可见z”是m次多项式，从而z(x)是m+2次多项式，故设(1)的特解为：
y*=x^2Qm(x)*exp(ux)。
综上所述，二阶常系数非齐次线性方程(1)的特解可设为：
y*=x^kQm(x)*exp(ux),
其中k=0,1,2。这里k的取值分别对应u不是特征方程(3)的根、单根、重根。
最后，非齐次方程(1)的通解为：
y=Y(x)+y*(x)=c1*y1(x)+c2*y2(x)+y*(x)。
从(I),(II)的讨论可知，无论是求齐次方程(2)的通解，还是求非齐次方程(1)的特解和通解，都紧密地和特征方程(3)联系在一起。
注记：从原理上讲，求解常系数非齐次微分方程与求解线性方程组一样，都是先求对应齐次方程的通解Y，再求非齐次方程的一个特解y*，这样就可以得到非齐次方程的通解。
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收起
