对角矩阵是什么样的??对角矩阵是
矩阵的特征值与特征向量
相似矩阵
一、相似矩阵
定义3:设 、 为 阶矩阵,若存在 阶可逆矩阵 ,使得: 。则称矩阵 与 相似,或者说 是 的相似矩阵。记作: 。可逆矩阵 称为相似变换矩阵。 对 进行运算 ,称为对 进行相似变换。
矩阵的相似关系满足等价关系的三个性质:
即对 阶矩阵 、 、 有:1)反身性:
2)对称性:若 ,则
3)传递性:若 , ,则
证3)
(因为 , , 和 可逆,所以 可逆。 。)
相似矩阵还有以下重要性质:
性质1:对于 阶矩阵 与 ,若 ,则 。
性质2:对于 阶矩阵 与 ,若 ,则 。
性质3:对于 阶矩阵 与 ,若 ,且 可逆,则 可逆,且 。 ...全部
矩阵的特征值与特征向量
相似矩阵
一、相似矩阵
定义3:设 、 为 阶矩阵,若存在 阶可逆矩阵 ,使得: 。则称矩阵 与 相似,或者说 是 的相似矩阵。记作: 。可逆矩阵 称为相似变换矩阵。
对 进行运算 ,称为对 进行相似变换。
矩阵的相似关系满足等价关系的三个性质:
即对 阶矩阵 、 、 有:1)反身性:
2)对称性:若 ,则
3)传递性:若 , ,则
证3)
(因为 , , 和 可逆,所以 可逆。
。)
相似矩阵还有以下重要性质:
性质1:对于 阶矩阵 与 ,若 ,则 。
性质2:对于 阶矩阵 与 ,若 ,则 。
性质3:对于 阶矩阵 与 ,若 ,且 可逆,则 可逆,且 。
证:由性质1,若 可逆,则 可逆。 ,所以 。
性质4:若 是 次多项式, 与 是 阶矩阵。若 ,则 。
证:因为 ,存在可逆矩阵 ,使 。因为对任意的正整数 ,有:
。
设 ,
则
,所以 。
由性质4可给出许多常用的结果。如设 、 为 阶矩阵,若 ,则 , ,
(其中 为非负整数)。
定理2:相似矩阵有相同的矩阵多项式和完全相同的特征值。
证明:设 、 为 阶矩阵,且 ,则存在可逆矩阵 ,使 。
所以 与 的特征多项式相同,进而特征值相同。
说明:定理2的逆命题不成立。即有相同特征多项式的两个 阶矩阵不一定相似。
比如: , ,它所有相同的特征多项式: 都有二重特征值, 。但 与 不相似。从下列可知,与 相似的只能是 本身。
例1:与 阶单位矩阵 相似的只有 本身。
与 阶数量矩阵 相似的只有 本身。
证明:假设 ,则存在可逆矩阵 ,使 , 。
假设 ,则存在可逆矩阵 ,使 , 。
二、矩阵的对角化
定义4:若 阶矩阵 ,则称 可以对角化。( -对角阵)
若一个矩阵可以对角化,就能把许多复杂的解变为简单。
现在的解是:
1) 什么样的矩阵 可以对角化?
2) 若 阶矩阵 可以对角化,相似变换矩阵 怎么求?对角阵 怎么求?见以下
定理3: 阶矩阵 可以对角化 具有 个线性无关的特征向量。
证明:必要性:设 阶矩阵 ,其中 。则存在可逆矩阵 ,
使得 , 。设矩阵 的列向量分别是: 。上式可分为:
。
即: 。于是 。
说明相似变换矩阵 的列向量 恰好是矩阵 的分别属于特征值 的特征向量。
矩阵 可逆, 它的列向量 线性无关。所以矩阵 有 个线性无关的特征向量。
充分性:若矩阵 有 个线性无关的特征向量 ,假设它们对应的特征值分别为 。有:
。 线性无关 是可逆矩阵。
记 。则 , 即 可以对角化。
定理4: 阶矩阵 的属于不同特征值的特征向量线形无关。
证明:设 阶矩阵 的 个特征值 互不相等。分别属于 的特征向量为 。假设有 个数 ,使得: (5)
用这种方法再依次用 左乘(5)式两边得:
即
(6)式左端第二个矩阵的行列式是范德蒙行列式。
互不相同, 该行列式的值不等于0。 (6)式左端第二个矩阵可逆。用逆矩阵右乘(6)两边,得到: 。于是 ,由于 是非零向量。只有 , 线性无关。
推论:若 阶矩阵 有 个互不相同的特征值,则 可以对角化。
例如: 是下三角矩阵,其特征值为1,2,3。它们互不相等。所以 不可对角化。
注:推论的逆命题不成立。即可以对角化的 阶矩阵 不一定有 个互不相等的特征值。
例1如: 存在可逆矩阵 , 使得
。
说明 可以对角化,但 没有三个互不相等的特征值。
例2:设 。试说明 不可以对角化,求相似变换矩阵 ,使 。
解:矩阵 的特征方程为:
解得
它们互不相等, 不可以对角化。
对应于 时,解齐次方程组: 即:
特征向量
对应于 时,解齐次方程组: 即:
特征向量
对应于 时,解齐次方程组: 即:
特征向量
则相似变换矩阵 ,使得
注
1) 由于矩阵 的属于特征值 的特征向量不唯一,所以相似变换矩阵 也不唯一。
2) 由特征值作成对角阵 ,和对应的特征向量排成的相似变换矩阵 ,只要符合对应原则就行。
3) 在矩阵 的特征值互不相等时, 一定可以对角化。
在矩阵 有重特征值时,若 有 个线性无关的特征向量,则 可以对角化。
在矩阵 有重特征值时,若 没有 个线性无关的特征向量,则 不可以对角化。
但对于实对称矩阵,不论它是否有重特征值必定可以对角化,而且还可以找到正交矩阵作伪相似变换矩阵。
。
收起