数学题

高二数学证明证明：三角形的三条高线交于

法一,几何方法 随便画个三角形。标上ABC,作AB的高CD和AC的高BE，显然，两高线比交与一点，设为G点，连接AG延长交BC与F， 现在只需要证明AF⊥BC。 由于∠ADC+∠AEB=180，所以ADGE四点共圆，则∠DAG=∠DEG 同理有DEBC四点共圆，则∠BCD=∠DEG 所以∠BCG=∠DAG，又∠DGA=∠FGC，所以∠CFG=∠ADG=Rt∠ 所以AF⊥BC 所以三条高交与一点。 法二 向量法 就是运用平面向量数量积中 两线垂直 可以得到它们相乘等于零即可 就不写了。 还可以在向量中引入坐标 以AB边为x轴,AB边上的高为y轴(垂足为原点)建立直角坐标系，设A(a，0...全部

  法一,几何方法 随便画个三角形。标上ABC,作AB的高CD和AC的高BE，显然，两高线比交与一点，设为G点，连接AG延长交BC与F， 现在只需要证明AF⊥BC。 由于∠ADC+∠AEB=180，所以ADGE四点共圆，则∠DAG=∠DEG 同理有DEBC四点共圆，则∠BCD=∠DEG 所以∠BCG=∠DAG，又∠DGA=∠FGC，所以∠CFG=∠ADG=Rt∠ 所以AF⊥BC 所以三条高交与一点。
   法二 向量法 就是运用平面向量数量积中 两线垂直 可以得到它们相乘等于零即可 就不写了。 还可以在向量中引入坐标 以AB边为x轴,AB边上的高为y轴(垂足为原点)建立直角坐标系，设A(a，0)，B(b，0)，C(0，c)，且a≠b． BC边与AC边的高线交于点P(x，y)， (向量)BP＝(x-b，y)， AP＝(x-a，y) BC＝(-b，c)， AC＝(-a，c) ∵ AC⊥BP ∴ AC·BP ＝0 ∴ (-a)·(x-b)＋cy=0 ① 又 BC⊥AP ， BC·AP＝0 ∴ (-b)·(x-a)＋cy=0 ② 由①，②得(a-b)x＝0， ∵ a≠b，∴ x＝0，∴ 点P在AB边上的高线上， ∴ 三角形三条高线相交于一点 法三 反证法 1。
  当△ABC 为锐角三角形时，因为同旁内角之和小于180度，二条高AD，BE 必相交于一点H，联结CH且延长交AB于F，因为 A，B，D，E 四点共圆，∴∠ABE=∠ADE, 因为H，E，C，D 四点共圆， ∴∠HDE=∠HCE, 即 ∠ADE=∠FCA ∴ ∠ABE=∠FCA。
   ∵∠ABE+∠BAE=Rt∠ ∴∠FCA+∠FAC=Rt∠ 即CF就是AB边上的高 ∴△ABC的三条高交于一点。 2。当△ABC 为Rt△时显然三条高交于直角的顶点。 3。当△ABC 为钝角△时,则因为同旁内角之和小于180度，二条高AD，BE 必相交于形外一点H，联结CH交AB的延长线于F，联结DE则因为 A，B，D，E 四点共圆，∴∠CAF=∠BDE, 因为H，D,E，C 四点共圆， ∴ ∠ADE=∠FCA ∴ ∠ABE=∠FCA。
   ∵∠ADE+∠EDC=Rt∠ ∴∠FCA+∠FAC=Rt∠ 即CF就是AB边上的高 ∴△ABC的三条高交于一点。 或者这样 (自己画图) 三角形ABC中,AC、AB上的高为BE和CF。
   显然三角形ABE相似于三角形ACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1) 过A作三角形ABC的高AD，分别交BE，CF，AB于O1，O2，D。 由三角形AFO2相似于三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2) 由三角形AEO1相似于三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3) 根据等式(1)(2)(3)有 AO1*AD＝AO2*AD, 所以AO1=AO2,O1、O2重合，记重合点为O点，则O点均在高AD，BE，CF上，所以三角形ABC得三条高交于一点O。
   。收起