证明参数不等式设a,b,c,d为
设a,b,c,d为正实数,︱k︱≤2,
己知a^2+b^2-kab=1,c^2+d^2-kcd=1。
求证 ︱ac-bd︱≤2/√(4-k^2)
现给出一个几何证法。供参考。
根据题设条件,︱k︱≤2,a^2+b^2-kab=1,c^2+d^2-kcd=1。
联想到余弦定理与托勒密定理。
构造一个圆内接四边形ABCD。
设R是圆内接四边形ABCD的半径,
BC=1,对角线AC=a,BD=c,AB=b,CD=d。
令∠BAC=∠BDC=t,∠ACD=∠ABD=x。k=2cost
在△BAC中,由余弦定理得:
BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cost
即 1=b^2+a^2...全部
设a,b,c,d为正实数,︱k︱≤2,
己知a^2+b^2-kab=1,c^2+d^2-kcd=1。
求证 ︱ac-bd︱≤2/√(4-k^2)
现给出一个几何证法。供参考。
根据题设条件,︱k︱≤2,a^2+b^2-kab=1,c^2+d^2-kcd=1。
联想到余弦定理与托勒密定理。
构造一个圆内接四边形ABCD。
设R是圆内接四边形ABCD的半径,
BC=1,对角线AC=a,BD=c,AB=b,CD=d。
令∠BAC=∠BDC=t,∠ACD=∠ABD=x。k=2cost
在△BAC中,由余弦定理得:
BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cost
即 1=b^2+a^2-kab
在△BDC中,由余弦定理得:
BC^2=BD^2+CD^2-2BD*CD*cost
即 1=c^2+d^2-kcd
根据托勒密定理得:
AC*BD=AB*CD+BC*AD
即 ac=bd+AD ac-bd=AD
而2/√(4-k^2)=1/sint
故所不等式为
AD*sint≤1=BC
由正弦定理
2R*sinx*sint≤2R*sint
sinx≤1
显然成立。
取等条件也可求出。
。收起
