AD是三角形ABC的角平分线，D在BC边
解：一方面，BC^2=(BD+DC)^2=BD^2+DC^2+2*BD*DC；
另一方面，由余弦定理，可得BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos∠BAC，
故得AB^2+AC^2-BD^2-DC^2=2*AB*AC*cos∠BAC+2*BD*DC (*)
由角平分线定义，设∠BAD=∠DAC=α，
又由余弦定理，得BD^2=AB^2+AD^2-2*AB*AD*cosα （1）
DC^2=AC^2+AD^2-2*AC*AD*cosα （2）
故（1）+（2），整理后，得AB^2+AC^2-BD^2-DC^2=2*AD*cosα*(AB+AC)-2*A...全部
解：一方面，BC^2=(BD+DC)^2=BD^2+DC^2+2*BD*DC；
另一方面，由余弦定理，可得BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos∠BAC，
故得AB^2+AC^2-BD^2-DC^2=2*AB*AC*cos∠BAC+2*BD*DC (*)
由角平分线定义，设∠BAD=∠DAC=α，
又由余弦定理，得BD^2=AB^2+AD^2-2*AB*AD*cosα （1）
DC^2=AC^2+AD^2-2*AC*AD*cosα （2）
故（1）+（2），整理后，得AB^2+AC^2-BD^2-DC^2=2*AD*cosα*(AB+AC)-2*AD^2 (**)
由（*）和（**）式，整理可得AD*cosα*(AB+AC)-AD^2=AB*AC*cos∠BAC+BD*DC
又cos∠BAC=cos2α=2*(cosα)^2-1
代入上式，得AD*cosα*(AB+AC)-AD^2=2*AB*AC*（cosα）^2-AB*AC+BD*DC
化简，即AD^2-AB*AC+BD*DC=AD*cosα*(AB+AC)-2*AB*AC*（cosα）^2 （***）
考虑(***)式右边=AD*cosα*(AB+AC)-2*AB*AC*（cosα）^2=cosα*（AD*AB+AD*AC-2*cosα*AB*AC）=cosα*AB*AC*(AD/AC+AD/AB-2*cosα)
由正弦定理，知AD/AC=sic∠C/sin∠ADC,
AD/AB=sic∠B/sin∠ADB。
又sin∠ADC=sin∠ADB，设为k
故（***）式右边=cosα*AB*AC*（sic∠C/sin∠ADC+sic∠B/sin∠ADB-2*cosα）=cosα*AB*AC/k*(sic∠C+sic∠B-2*cosα*k)
又sic∠C=sin（α+∠ADC）=sinα*cos∠ADC+cosα*sin∠ADC
sic∠B=sin（α+∠ADB）=sinα*cos∠ADB+cosα*sin∠ADB
且cos∠ADC=-cos∠ADB
故sic∠C+sic∠B=2*cosα*k
即（***）式右边=0
即AD^2-AB*AC+BD*DC=0。
收起
