求极限值:
(1)lim(x^2+y^2)^(x^2y^2);
(2)lim[(x+y)/(x^2-xy+y^2)].
1。当0<∣x∣<(1/2)^( 1/2), 0<∣y∣<(1/2)^( 1/2)时;
0<(x^2+y^2)<1, 0<x^2*y^2<1/4,
故0<(x^2+y^2)^(x^2*y^2)<1
又因为0<4*x^2*y^2<(x^2+y^2)^2<1,
所以(x^2+y^2)^(x^2*y^2)>(x^2+y^2)^(1/4)*(x^2+y^2)^2
[(x^2+y^2)^(x^2+y^2)^2]^(1/4)令t= x2+y2,
原式=[t(t^2)] 1/4
当t→0+,t(t^2)→1,[t(t^2)] 1/4→1
(可考虑[1/n]^(1/n2))
即:[t(t^2)] 1/4<...全部
1。当0<∣x∣<(1/2)^( 1/2), 0<∣y∣<(1/2)^( 1/2)时;
0<(x^2+y^2)<1, 0<x^2*y^2<1/4,
故0<(x^2+y^2)^(x^2*y^2)<1
又因为0<4*x^2*y^2<(x^2+y^2)^2<1,
所以(x^2+y^2)^(x^2*y^2)>(x^2+y^2)^(1/4)*(x^2+y^2)^2
[(x^2+y^2)^(x^2+y^2)^2]^(1/4)令t= x2+y2,
原式=[t(t^2)] 1/4
当t→0+,t(t^2)→1,[t(t^2)] 1/4→1
(可考虑[1/n]^(1/n2))
即:[t(t^2)] 1/4<(x^2+y^2)^(x^2*y^2)<1
利用夹逼定理即可
2。
∣(x+y)/(x^2-xy+y^2)-0∣=∣(x+y)/[(x-y)^2+xy]∣≤∣(x+y)/ xy∣
≤(∣x∣+∣y∣)/∣xy∣=1/∣x∣+1/∣y∣→0,当x,y→∞时
第一题极限是1,利用夹逼定理
第二题极限是0,先猜出极限值(因为分母阶数高)再利用极限定义去证明
我没有详细写出ε—δ语言
。
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