一道数学题证明：在R上，无理数比有理数
无理数多于有理数的证明
本证明最初发表在sohu的科普论坛，是为了澄清讨论中关于有理数无理数之争的。证明中的大部分定义、定理内容参考自夏道行等著的《实变函数论与泛函分析》这本书。经过筛选与简化，只需要具有高中程度，就完全可以看懂。 但因为通俗性与严谨性是成反比的，为了证明严格一些，只好牺牲通俗性，所以如果高中数学都没学过的人恐怕有点吃力。
对集合论有点了解但不完全理解的人，或者以前根本没概念的人，当你仔细花上点时间将以下内容看完的时候，我想都会有较大的收获的。 因为有些结论，将会改变以往你根深蒂固的直觉。
好了，废话不多讲，下面先从集合的概念开始说起。
一些概念定义：
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无理数多于有理数的证明
本证明最初发表在sohu的科普论坛，是为了澄清讨论中关于有理数无理数之争的。证明中的大部分定义、定理内容参考自夏道行等著的《实变函数论与泛函分析》这本书。经过筛选与简化，只需要具有高中程度，就完全可以看懂。
但因为通俗性与严谨性是成反比的，为了证明严格一些，只好牺牲通俗性，所以如果高中数学都没学过的人恐怕有点吃力。
对集合论有点了解但不完全理解的人，或者以前根本没概念的人，当你仔细花上点时间将以下内容看完的时候，我想都会有较大的收获的。
因为有些结论，将会改变以往你根深蒂固的直觉。
好了，废话不多讲，下面先从集合的概念开始说起。
一些概念定义：
(1)如果集A中的元素，都是集B的元素，那么称A是B的子集。记做A(B（符号是∪横过来的样子，打不出来，暂以(代替）。
根据定义有A(A。
(2)另外我们定义不含任何元素的集合为空集，规定空集是任何集合的子集。空集记做φ。
(3)如果集合A(B，而B中确实存在不属于A的元素，那么称A是B的真子集。
(4)如果A(B，且B(A，那么A、B由相同的元素组成，此时称A=B。
(5)由集A和集B的一切元素组成的集合，叫A和B的和集或并集。记做A∪B。
(6)所有既属于集A又属于集B的元素组成的集合，叫A和B的通集或交集。记做A∩B。
这两个概念可以推广到任意个集合进行并或者交的情形。
(7)若A∩B=φ，称A、B不相交，否则称A、B相交。
从以上概念定义可以推导出集合运算的一些性质：
1。 A∪A=A， A∩A=A
2。 A∪φ=A， A∩φ=φ（φ类似于0，∪类似于加法运算，∩类似于乘法运算）
3。
A∪B=B∪A， A∩B=B∩A （并、交的交换律）
4。 (A∪B)∪C=A∪(B∪C)， (A∩B)∩C=A∩(B∩C) （并、交的结合律）
5。 (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) （分配律）
再来定义集合的“减法”：
(8)集合A中所有不属于集合B的元素组成的集合，称作集A减集B的差集，记做A-B。
注意这里并不要求B(A。
(9)如果B(A，则称差集A-B为集B关于集A的余集。记做C(A,B)。
(10)(A-B)∪(B-A)称做A、B的对称差。记做A△B。实际上它就是那些只属于A或只属于B的元素组成的集合。
同样从以上概念定义可以推导出集合“减法”运算的一些性质：
6。 如果A(B，那么A-B=φ
7。 (A-B)∩C=(A∩C)-(B∩C) （“减法”的分配律）
8。 (C-A)-B=C-(A∪B)
9。
A∪B = (A△B)∪(A∩B)
以上只是集合的一些基本概念定义。下面来定义集合的映射：
(11)设A、B是两个非空集，如果存在一个规则ψ，使得对于A中的任何一个元素x，按照规则ψ，在B中有一个确定的元素y与之对应，那么称这个规则ψ是从A到B的映射。
元素y称做元素x（在映射ψ下）的象。记做y=ψ(x)。
(12)对任一个固定的y，称适合关系y=ψ(x)的x全体为y（在映射ψ之下）的原象。集合A称作映射ψ的定义域，ψ(A)称作映射ψ的值域。
注意ψ(A)不一定等于B，只能说它一定是B的子集。
(13)如果ψ(A)=B，那么称ψ是 A到B上的 映射，又称为A到B的满射。
特别地，如果A、B都是实数或复数集，那么ψ就是我们高中时候学过的所谓函数了。
所以函数不过是集合论中的一个特例罢了。
下面要讲讲一一对应（这些概念都跟函数中概念类似）。
(14)设ψ是 A到B中的 映射，若对每一个属于ψ(A)值域的y，A中只有一个元素x满足ψ(x)=y，那么称ψ是可逆映射或一对一的映射，或单射。
换句话说，对A中任意两个元素x1，x2，当x1不等于x2时，必然有ψ(x1)不等于ψ(x2)，那么ψ就是 A到B的 可逆映射。
(15)设ψ是 集A到集B上的 可逆映射，那么称ψ为A到B的一一对应或双射。
也就是，如果ψ是A到B的一一对应，意味着对于A中任何一个元素a，有唯一的b=ψ(a)，且对B中的每一个元素b，必在A中有唯一的元素a，适合ψ(a)=b。
这里尤其要注意“A到B中的(或A到B的)可逆映射”跟“A到B上的可逆映射”的区别。
否则容易将可逆映射跟一一对应搞混。相信高中时候专心记笔记的人还有印象吧，因为讲函数的时候，这个中跟上的区别仍然会强调的。
例如，假设ψ是A到B中的可逆映射，那么或许在B中还存在某个元素y，它是无法由ψ来从A中任何一个元素对应过来的。
但如果ψ是A到B上的一一对应，那么这样的y是不存在的。
对等的概念。
(16)设A、B是两个集，如果存在一个A到B的一一对应，那么称集A与集B对等（或相似），记为A～B，规定空集跟自身对等。
接下来，集合的势的概念快要出来了。而对等的概念是我们建立势的理论从而对集合进行比较的基础。
例如，正偶数集合和自然数集，ψ:n->2n，即可使得两集合之间建立一一对应，因此他们是对等的。
显然，对等具有以下性质：
10。 A～A，对等的自反性
11。 若A～B，那么B～A，对等的对称性
12。 若A～B，B～C，则A～C，对等的传递性
刚才已经强调过，若ψ是A到B中的可逆映射，ψ未必是A到B的一一对应。
但我们知道ψ实现了A到值域ψ(A)的一一对应。因此A与B的子集ψ(A)对等。
如果A与B的子集对等，而B又与A的子集对等，那么可以证明A、B是对等的。这个定理叫伯恩斯坦(Bernstein)定理。
好了，前面这些概念和定理都是在做铺垫，现在我们要正式开始进行集合个数的比较了。
集论最初的一个基本课题就是研究元素个数有多少的问题，我们称之为集的势论。
关于事物的多或少是很普通的概念，例如，问：某班学生人数与教室的凳子数哪个多？最笨但也最显然的方法是规定每个学生都去坐在凳子上，而且一个学生只能坐一张凳子。
最后，如果有学生没坐到凳子，那么便是学生多。如果最后有凳子空着，那么便是凳子多。
所以，类比上面这样的方法，我们引入以下这个定义：
设A、B是两个集。
(1)如果A和B对等，那么称A和B具有相同的势（或基数）。
记集A的势为P(A)（其实正确的写法是A上面两横，因为无法打出这样的符号，就以P(A)代替，不影响讨论）。A和B具有相同的势时，记为P(A)=P(B)。
(2)如果A对等于B的某个子集B1，那么称A的势小于或等于B的势，记为P(A)P(B)，根据伯恩斯坦定理，情况(3)就是P(A)=P(B)。
所以如果能证明情况(4)不可能发生，那么就说明任何两个集都可以比较它们势的大小的。不过至今，数学家们仍然没有办法通过已有的公理来证明出(4)不可能发生。泽梅洛(Zermelo)于是提出了一个选择公理——公理的内容就是说(4)不可能发生。
在选择公理的前提下，我们就可以认为任何两个集的势都是可以比较大小的了。
当然，写了这么多，目的是为了讲清楚有理数无理数的个数多少问题，而这两个集合都是拥有无限个元素的，所以，仍然有必要给有限集、无限集下个严格的定义。
设n是自然数，令Mn={1,2,。。。,n}。如果集A能与某个集Mn对等，那么称A是有限集。当A～Mn时，称n为集A的计数。规定空集为有限集，并且它的计数规定为零。
下面给出几个有/无限集的相关定理。
定理1 集Mn与其任何真子集不对等。即有限集决不与其真子集对等。这可以导出一个结论：有限集具有唯一的计数。
由定理可知，两个有限集相互对等的充要条件是他们的计数相等。
规定有限集A的势为A的计数，即如果A～Mn，那么规定P(A)=n。
称不是有限集的集为无限集。
例如自然数集N，因为它能和它的真子集E（正偶数集）对等，所以根据定义我们认为它不是有限集，即它是无限集。
我们定义，凡是与自然数集N对等的集，称为可列集，或可数无限集。
我们把可列集的势记做阿列夫零，记作§0。因此§0，它是一个表示集合里元素个数多少的量。
定理2 任何无限集，必与它的一个真子集对等。
证明：首先任何无限集都必然至少含有一可列子集，因为我们可以从无限集中不停地取互不相同的元素，将它们用自然数n作下标编号，那么这个取出来的子无限集，就是定义中的可列集，我们可以记做{a[n]|n=1,2,。
。。}（方括号里的是下标，下同）。
譬如无限集A中，我们取出一可列集A1={a[n]|n=1,2,。。。}，记余集为A'=A-A1。然后在A中取出它的一个真子集A2，A2=A'∪{a[n]|n=2,3,。
。。}。现在，我们可以做A到A2的映射：
ψ(a[i])=a[i+1]，当i=1,2,。。。
ψ(x) = x，当x属于余集A'
显然，这样的ψ满足了A到A2的一一对应，所以A～A2，即A与它的真子集A2对等。
根据定理2反推，就是凡不能与自己的任一个真子集对等的集，必是有限集。也就是，集A是有限的充要条件是它不能和真子集对等；集A是无限的充要条件是它能和真子集对等。
可列集可说是最“小”的无限集。
这个解释很简单：譬如无限集A，它必然包含一可列子集，那么根据定义P(A)>=§0。如果A是可列集，那么A～N，P(A)=§0；如果A不对等N，即P(A)!=§0，那么根据定义(2)，P(A)>§0。
所以不管如何，无限集的势总是不会小于§0。因此可列集是最“小”的无限集。
定理3 可列集的任何子集，若不是有限集，就还是可列集。
因为根据定义(2)的另一表述，可列集的任何子集，势总是小于等于阿列夫零，因此不是有限集就还是可列集。
定理4 有限个（或可列个）有限集（或可列集）的并集，还是有限集（或可列集）。
这个定理表述虽有些拗口，但是它的结论却恐怕让你大吃一惊！
证：有限集的情况很简单，现在只讨论无限集的情况。
设有一系列的集合A1, A2, 。。。 An, 。。。，其中每一个都是可列集
A1={a[11], a[12], 。。。, a[1k], 。。。}
A2={a[21], a[22], 。
。。, a[2k], 。。。}
。。。
An={a[n1], a[n2], 。。。, a[nk], 。。。}
。。。
记其并集为A=A1∪A2∪A3∪。。。∪An∪。。。
我们称p+q=h为元素a[pq]的高度，将A中的元素按高度大小编号，在同一高度中按q值由小到大编号，重复的元素直接去掉。
这样就一定能把并集A中的所有元素编成一列，因为要么高度h不同，要么下标q不同，不可能两者都相同的，否则等于两个元素具有相同的双下标p、q，那实际上这是同一个元素，矛盾。所以定理4成立。
从这个定理可以看出来，即使无限个无限集的并集，仍然可能与其中的某一个无限集有着相同大小的势。
当然这里的无限个只能是可列个，无限集也仅限于可列集。
我看到有网友说什么聚聚宝盆盆。实际上，因为所谓的聚宝盆，拿出的金币一定是可列的；因此即使所谓的聚聚宝盆盆，按照定理4，它仍然是可列的。
所以，不但有限个聚宝盆跟一个聚宝盆有着相同多的金币，而且可列个聚宝盆即聚聚宝盆盆里的金币跟聚宝盆里的金币也是一样多的，甚至即使是聚聚聚宝盆盆盆也一样多。但是下面我们将会看到，如果是聚聚。。。聚宝盆盆。
。。盆，其中聚跟盆字都有阿列夫零个，那么它的金币就比聚宝盆多了。
上面的段子有点绕，呵呵，言归正传，现在我们可以开始计算有理数集的势了。
首先我们知道，平面上的格点，即直角坐标下两坐标x、y均为整数的点(x,y)的全体是成一可列集的。
这是因为我们可以将这些格点看成在y方向可列个的x方向可列集的并集。即我们构造可列集An={(n,m)|其中m是整数}，这是m固定，n在变的一些点的集合，它自然是可列集。那么根据定理4，所有n从-∞到+∞的An的并集，也是可列集。
另一方面，我们还知道有理数一定可以写成一个分数p/q，而每对这样的分数正好和平面上的格点(p,q)一一对应。既然平面上所有格点的全体是可列集，那与之对等的分数的全体即有理数的全体，也是可列集了。
所以我们得到第一个结论：有理数集是可列集，它的势为§0(阿列夫零)。它跟自然数一样多。
对于无理数。我们先从集合的乘法与代数数说起。
定义：设A、B是两个非空集，任取元素a属于A，b属于B，组成元素对(a,b)。
所有这种元素对的全体组成的合集称为A与B的乘积，记为A×B。平面上所有格点成一可列集实际上说明了当A、B均是可列集时，A×B也是可列集。 同样，n维空间的格点是可列集可类推出
定理5 如果A、B、。
。。、C是有限多个有限集（或可列集），那么乘积集
A×B×。。。×C = {(a,b,。。。,c) | 其中a属于A, b属于B, 。。。, c属于C}
它是有限集（或可列集）。
现在我们来看整系数多项式。
n次整系数多项式
（类似a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+。。。+a[2]x^2+a[1]x+a[0]=0）
的全体可以与n+1个自然数集的乘积对等（上式有n+1个可变系数）。所以，它也是可列集。
换个角度，因为整系数多项式的实数根是被我们称为代数数的，显然，全体的代数数也是一可列集。
代数数集已经包含了全体有理数以及一部分的无理数，但我们发现它还是可列的。其中的无理数就是例如根号2，根号3，黄金分割率等一切有限次根号能表达的数。
现在来证明实数区间[0, 1]中所有的实数组成的集合是不可列集。
其实只要证明(0, 1]区间的实数集是不可列的。如果它是可列的，说明其中所有的实数均可排列成一数列t1,t2,。。。
,tn,。。。，只有这样，它才能对等于自然数集。好，这时我们将将(0,1]中的实数用十进制的无限小数表示：
t1 = 0。 t11 t12 t13 。。。 t1n 。。。
t2 = 0。
t21 t22 t23 。。。 t2n 。。。
。。。
tm= 1tm2tm3。。。tmn。。。 。。。
其中所有的tij都是0～9这十个数字中的某一个。
但是现在我们可以构造一个小数a=0。
a1 a2 a3 。。。 ak 。。。，任意的ai也都是0～9这十个数字中的某一个，但我们让每个ai都不等于上述实数列中的tii，也就是让第i位的数字跟数列中第i行第i个数字不同。这是可行的，因为我们用的是十进制小数，还剩下9个不同数字可供选择呢。
当我们构造好了这样的一个小数之后，我们发现它实际上跟上述小数列中的任何一个都不相等。这就造成了逻辑上的矛盾，你说已经把所有小数都列出来了，但是我却发现至少我构造的这个小数，你还没有罗列出来。
就算你亡羊补牢，把我这个也补充进去，但是我还是可以根据同样规则又构造出另一个。 所以，只能说明实数是无法跟可列集形成一一对应的，也就是前面的假设是错误的。
因此[0, 1]区间的实数不是可列集。
同样，取掉0，1两个数之后的(0,1)区间的实数也不是可列集。
我们再构造一个映射：
ψ(x)=tan(x-1/2)π
不用多解释了吧？大家画个图就知道，这个映射显然是(0,1)到(-∞，+∞)的一一对应。
因此，整个实数集，它也是不可列集。
我们把实数（注意实数当然也包括有理数）集的势，称为阿列夫，记作§。当然也有人叫它阿列夫1。
好像已经结束了，但我们发现刚才我们只是得到所有实数要比所有有理数多，可是实数是包括有理数的啊，我们怎么知道实数里面剔除有理数之后，它是否还能比有理数多呢？当然这不能乱想，必须要有严格的证明。
让我们回过头来看定理4，说的是，可列个可列集的并集，还是可列集。好，如果假设无理数也是可列的，那么 实数集=有理数集∪无理数集=可列集∪可列集=可列集。但是上面我们已经证明了实数集它不是可列集。
因此得到了矛盾的结果，说明假设是错的，因此只能是无理数集不是可列集。
严谨、细心的朋友，可能还对前面提到的泽梅洛选择公理念念不忘吧？是的，如果不承认选择公理，也就是认为前述中“(4) A永远不对等于B的任何一个子集，而B也永远不对等于A的任何一个子集。
”将是存在的。这不是说明集合的势有可能不能比较了吗？确实！对于任意无限集之间势的比较，要么我们肯定选择公理，这样发展出一套理论，这套理论里，任意无限集的势都是可以比较大小的；或者否定选择公理，也可以发展出一套自恰的理论，这套理论里，不是任意无限集的势都能拿来比较大小的。
这就好比我们设定平行线不相交从而发展出欧几里德几何，而设定平行线也相交从而发展出黎曼几何一样。
看起来似乎前面的一切努力都白费了，只要有人不承认选择公理，那么对他来说后面的推导自然也就不成立了。
不过庆幸的是，我们发现我们处理的问题要简单些，从而避开了面对选择公理的两难决定。
我们再来看刚才的话“(4) A永远不对等于B的任何一个子集，而B也永远不对等于A的任何一个子集。”如果A是有理数集，B是无理数集，情况怎样呢？显然，因为A是可列集，B是无限集，而无限集中肯定可以取出一可列集来与A对等。
因此，在确定了A、B的具体集合之后，是可以不需要选择公理就能排除(4)这种情况的。
现在，我们终于可以下个完善的结论了：只要认可是否一一对应是用来比较集合元素多少的标准，那么不再需要额外的公理，无理数要比有理数来得多的多。
。收起
