高等数学作业题毕业补考试题，希望高人帮
一、判断题
①√
y=(1-x)/(1+x)
===> 1-x=(1+x)y=y+xy
===> 1-y=x+xy=x(1+y)
===> x=(1-y)/(1+y)
所以反函数为：y=(1-x)/(1+y)
②×
函数在xo点连续，但不一定可导
③×
y=e^(-2x)
则，dy/dx=-2*e^(-2x)
则，d^2y/dx^2=4e^(-x)
④√
⑤×
∫sin2xdx=(1/2)∫sin2xd(2x)
=-(1/2)cos2x+C
二、填空题
(6)y=1/√(x^2-4x)的定义域是：
x^2-4x＞0
===> x(x-4)＞0
===> x＞4或者x＜0
(7)
f(x)在...全部
一、判断题
①√
y=(1-x)/(1+x)
===> 1-x=(1+x)y=y+xy
===> 1-y=x+xy=x(1+y)
===> x=(1-y)/(1+y)
所以反函数为：y=(1-x)/(1+y)
②×
函数在xo点连续，但不一定可导
③×
y=e^(-2x)
则，dy/dx=-2*e^(-2x)
则，d^2y/dx^2=4e^(-x)
④√
⑤×
∫sin2xdx=(1/2)∫sin2xd(2x)
=-(1/2)cos2x+C
二、填空题
(6)y=1/√(x^2-4x)的定义域是：
x^2-4x＞0
===> x(x-4)＞0
===> x＞4或者x＜0
(7)
f(x)在x=0处连续，则：
当x=0时，f(x)=cos0=1
那么，当x→0+时，f(x)=a+x=a+0=a
所以，a=1
(8)
y=x^(-2/3)在M(1,1)处的切线方程是：
y=x^(-2/3)
所以，y'=(-2/3)x^(-5/3)
那么，在M(1,1)处切线的斜率为k=y'(1)=-2/3
所以，切线方程为：y-1=(-2/3)*(x-1)
===> 3y-3=-2x+2
===> 2x+3y-5=0
(9)
y=f(sin^2 x)且f(x)可导，则：
dy=d[f(sin^2 x)]=f'(sin^2 x)*(sin^2 x)'
=f'(sin^2 x)*2sinx*cosx
=f'(sin^2 x)*sin2x
(10)
因为f(x)在[-a,a]上为连续的奇函数，那么：
∫f(x)dx=0
【因为奇函数在对称区间上的定积分为零】
三、选择题
(11)答案：A
B：y=3x^2-x^3——非奇非偶函数
C：y=(1-x^2)/(1+x^2)——偶函数
D：y=x^4——偶函数
(12)答案：D
A，或者B时，1/(x^2-1)=1/0→无穷大
C：x=0时，1/(x^2-1)=-1
(13)答案：A
y=x^3+5x+2
y'=3x^2+5＞0，所以f(x)在R上为单调增函数
y''=6x
则x＞0时，y''＞0，函数y是凹的；当x＜0时，y''＜0，函数是凸。
(14)答案：D
√x的一个原函数是：∫√xdx=(2/3)*x^(3/2)+C
(15)答案：C
若∫f(t)dt=tanx+2x
则，两边对x求导得到：
f(x)=(tanx+2x)'=(tanx)'+(2x)'
=sec^2 x+2
四、计算题
(16)求极限lim[√(3-x)-√(1+x)]/(x^2-1)
=lim[√(3-x)-√(1+x)]'/(x^2-1)'【罗必塔法则】
=lim[(1/2)*[1/√(3-x)]*(-1)-(1/2)*[1/√(1+x)]}/(2x)
=[-(1/2)*(1/√2)-(1/2)*(1/√2)]/2
=(-1/√2)/2
=-√2/4
(17)求极限lim[1+(2/x)]^x
=lim{[1+(2/x)]^(x/2)}^2
=e^2
【重要极限lim[1+(1/x)]^x=e】
(18)
y=(1+x^2)arctanx
则，y'=(1+x^2)'*arctanx+(1+x^2)*(arctanx)'
=2x*arctanx+(1+x^2)*[1/(1+x^2)]
=2x*arctanx+1
所以：y''=(2x*arctanx+1)'
=2[arctanx+x*1/(1+x^2)]
=2[arctanx+x/(1+x^2)]
(19)
∫x^2/(1+x^2)dx
=∫[(x^2+1)-1]/(1+x^2)dx
=∫[1-1/(1+x^2)]dx
=x-arctanx+C
(20)
∫[1/(1+√x)]dx
令√x=t，则x=0时，t=0；x=4时，t=2
且，x=t^2
所以，dx=d(t^2)=2tdt
原积分=∫[1/(1+t)]*2tdt
=2∫[t/(1+t)]dt
=2∫[(t+1)-1]/(1+t)dt
=2∫[1-1/(1+t)]dt
=2[t-ln(1+t)]|
=2*[(2-ln3)-(0-0)]
=4-2ln3。
收起
