求救--高二数学已知长方体ABC
名 师 点 播
棱柱（二）
●教学目标
(一)教学知识点
1．平行六面体性质的探讨．
2．长方体对角线性质定理的应用．
(二)能力训练要求
1．使学生通过分析平行四边形的性质从而发现并归纳出平行六面体的性质．
2．使学生熟练掌握长方体的对角线性质并能灵活应用于计算证明中．
(三)德育渗透目标
1．体会客观事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点．
2．培养学生用联系的观点、类比的思想分析解决各种问题的能力．
●教学重点
1．平行六面体的性质．
2．长方体对角线性质定理的应用．
●教学难点
如何将旧知识重新组合灵活解决新问题的能力．
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名 师 点 播
棱柱（二）
●教学目标
(一)教学知识点
1．平行六面体性质的探讨．
2．长方体对角线性质定理的应用．
(二)能力训练要求
1．使学生通过分析平行四边形的性质从而发现并归纳出平行六面体的性质．
2．使学生熟练掌握长方体的对角线性质并能灵活应用于计算证明中．
(三)德育渗透目标
1．体会客观事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点．
2．培养学生用联系的观点、类比的思想分析解决各种问题的能力．
●教学重点
1．平行六面体的性质．
2．长方体对角线性质定理的应用．
●教学难点
如何将旧知识重新组合灵活解决新问题的能力．
●教学方法
发现式教学法
通过复习巩固旧知识引导学生用联系的观点、类比的思想发现新知识解决新问题，从而培养学生归纳、猜想、论证的能力及分析问题解决问题的能力．
●教具准备
投影片四张
第一张：第一组问题(记作§9．7．2 A)
第二张：第二组问题(记作§9．7．2 B)
第三张：第三组问题(记作§9．7．2 C)
第三张：第四组问题(记作§9．7．2 D)
●教学过程
Ⅰ．平行六面体的性质
第一组问题——复习巩固提问(打出投影片§9．7．2 A)
1．平行四边形各边有什么性质？
2．平行四边形的两条对角线有什么性质？
3．平行四边形的两条对角线与四条边之间有什么关系？
上述问题，经认真思考，大部分学生能准确回答，教师予以强调并进一步提问．
第二组问题——类比旧知识，归纳猜想并证明新结论．(打出投影片§9．7．2 B)
1．平行六面体的各边有什么性质？
2．平行六面体的四条对角线有什么性质？
3．平行六面体的四条对角线与十二条棱的关系如何？
上述问题的解答，教师引导学生在第一组问题结论的基础上，大胆尝试归纳猜想以下结论：
(1)由“平行四边形对边平行且相等”猜想：“平行六面体的对边平行且全等”．
(2)由“平行四边形的两条对角线交于一点，且在交点处互相平分”猜想：“平行六面体的四条对角线交于一点，且在交点处互相平分”．
(3)由“平行四边形的两条对角线的平方和等于它四条边的平方和”猜想：“平行六面体的四条对角线的平方和等于它十二条棱的平方和．(板书以上三条平行六面体的性质)
教师应给学生充分的时间考虑如何从理论上证明上述平行六面体的性质．对于(1)，学生能准确运用平行六面体的定义及全等形的判定方法给予证明；对于(2)的“四线共点”可能感到困难，教师提醒学生可先证两条线交于一点，再证其余两线也过此点；对于(3)学生容易观察到平行六面体任意两条对角线都是以它的棱为邻边的平行四边形的两条对角线，再利用平行四边形对角线平方和等于它各边平方和这一性质即可证得．
教师指出：上述过程中，我们体会到了平行四边形的性质不仅其本身作用较大，而且可以推广到空间，其实，客观世界里的各种事物之间都是互相联系着的，重要的是要善于观察、寻找，发现并研究其联系．
Ⅱ．长方体及其性质
第三组问题——继续类比、归纳、猜想、证明．(打出投影片§9．7．2 C)
1．满足什么条件的平行四边形为矩形？
2．满足什么条件的平行六面体为长方体？
3．能否体会出“长方体一条对角线的平方等于同一个顶点上三条棱的平方和”这一性质与平面几何中矩形的什么性质对应？
上述问题1、2，学生能准确回答：对角线相等的平行四边形是矩形，并在此基础上归纳猜想：对角线相等的平行六面体是长方体．
教师引导学生给予其理论证明．
已知：平行六面体ABCD-A′B′C′D′所有对角线都相等．
求证：平行六面体ABCD-A′B′C′D′是长方体．
证明：
∵ 平行六面体的对角面是平行四边形，又平行六面体ABCD-A′B′C′D′的对角线都相等．
∴ 四边形BB′D′D是矩形，B′B⊥BD．
同理：四边形AA′CC′是矩形．
∴ A′A⊥AC．
∵ A′A∥B′B，
∴ B′B⊥AC．
∵ BD∩AC＝O，∴ B′B⊥面ABCD．
∴ 平行六面体ABCD-A′B′C′D′是直平行六面体．
同理：四边形A′BCD′是矩形，四边形AB′C′D是矩形，
∴ BC⊥A′B，B′C′⊥AB′，
又∵ B′C′∥BC，
∴ BC⊥AB′，且AB′∩A′B＝O′，
∴ BC⊥平面ABB′A′，BC⊥AB．
∴ 平行四边形ABCD为矩形．
综上所述，平行六面体ABCD-A′B′C′D′是长方体．
第四组问题——长方体对角线性质定理的应用(打出投影片§9．7．2 D)．
已知，长方体AC′中，B′D是一条对角线．
(1)若BD′与DD′、DC、DA所成的角分别为a、b、g，求证：cos2a＋cos2b＋cos2g＝1．
(2)若B′D与平面AC、平面D′A、平面C′D所成的角为a′、b′、g′，求证：cos2a′＋cos2b′＋cos2g′＝2．
分析：从结论入手，在(1)中等式左边是角的函数值关系，右边是常数1，如何实现这一转化过程？
［生］由题意得∠B′DD′＝a，
∠B′DC＝b，
∠B′DA＝g，则在Rt△B′DD′中，
cosa＝ ，
Rt△B′DC中，cosb＝ ，
Rt△B′DA中，cosg＝ ，
∴ cos2a＋cos2b＋cos2g＝
由长方体对角线性质可知
DD′2＋DC2＋DA2＝B′D2
∴ cos2a＋cos2b＋cos2g＝1．
在(2)中准确找出对角线B′D与面AC、面D′A、面C′D所成的角是关键．
［生］∵ B′B⊥平面AC，
∴ ∠B′DB＝a′，
同理B′A′⊥平面D′A．
∴ ∠B′DA′＝b′，B′C′⊥平面C′D
∴ ∠B′DC′＝g′．
则cosa′＝ ，cosb′＝ ，cosg′＝ ．
∴ cos2a′＋cos2b′＋cos2g′＝
而BD2＝AD2＋AB2＝AD2＋DC2，
A′D2＝AD2＋AA′2＝AD2＋D′D2
C′D2＝CD2＋CC′2＝CD2＋D′D2
∴ cos2a′＋cos2b′＋cos2g′＝ ＝ ＝2
∴ cos2a′＋cos2b′＋cos2g′＝2
Ⅲ．课堂练习
设过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别是a、b、c，那么这个长方体的对角线长是多少？
解：设同一个顶点上三条棱长分别是x、y、z，依题设得下面的方程组：
①＋②＋③，
得2(x2＋y2＋z2)＝a2＋b2＋c2，
即x2＋y2＋z2＝ (a2＋b2＋c2)．
设长方体一条对角线长是l，
∵ l2＝x2＋y2＋z2，
∴ l＝ ．
Ⅳ．课时小结
这节课通过寻找平行四边形与平行六面体、矩形与长方体的关系，从而根据平行四边形与矩形具有的性质比较着归纳出了平行六面体与长方体的性质，认识到比较法是我们学习中一种行之有效的方法．
Ⅴ．课后作业
(一)1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知顶点A上三条棱长分别是 、 、2，如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是a、b、g，那么cos2a＋cos2b＋cos2g的值是多少？
答案：2
(二)预习内容
1．怎样求直棱柱的侧面积？
2．尝试探索斜棱柱的侧面积的求法．
3．棱柱体积公式：V＝S·h中S与h的准确求法与计算．
●板书设计
§9．7．2 棱柱(二)
1．平行六面体的性质
例1
学生板演
●备课资料
一、教学中应重视平面图形立体化思想
平面图形立体化与立体图形平面化是两个相反的过程，也是互逆的思想．在平面图形立体化过程中，应要求学生认清平面图形中各已知条件的相互关系及其本质，并且在将一个平面图形折叠或剪拼成立体图形后，能分清已知条件中哪些发生变化了，哪些未发生变化，而这些未发生变化的已知条件都是分析和解决问题的重要依据，试举二例．
［例1］如图是正方体的一个展开图，当用它合成原来的正方体时，与边P重合的边是哪一条？
分析：此题可先将正方体合成，结论很快得到解决，若只考虑边的重合，会更快地得出结论．
解：首先有L和K重合，其次有I和J重合，则P与H重合．
［例3］如图，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个由四个三角形围成的几何体(以后要学习的四面体)，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么在这个几何体中必有( )
A．SG⊥△EFG所在平面
B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面
D．GD⊥△SEF所在平面
分析：题目中的SG1⊥G1E，EG2⊥G2F，FG3⊥G3S．这些条件在折叠后仍然不变，应从这一点入手解决此问题．
解析：∵ SG1G2G3是一个正方形，
∴ SG1⊥G1E，EG2⊥G2F，FG3⊥G3S．
∴ 折叠后的几何体中，一定有
SG⊥GE，且SG⊥GF，即SG⊥△EFG所在平面．
答案：A
评述：这道题貌似涉及几何体(四面体)的概念，实则主要用来巩固直线和平面垂直的判定定理，培养学生的空间想象力．
二、平行六面体性质的应用举例
［例3］已知直平行六面体的侧棱长100 cm，底面两邻边的长分别是23 cm和11 cm，底面的两条对角线的比是2∶3，求它的两个对角面的面积分别是多少？
分析：直平行六面体的对角面是矩形，本题关键是求出底面两条对角线的长，可应用方程思想解之．
解：已知AC1是直平行六面体，故它的两个对角面都是矩形，其侧棱AA1就是矩形的高．
由题意，得AB＝23 cm，AD＝11 cm，AA1＝100 cm．
∵ BD∶AC＝2∶3．
设BD＝2x，AC＝3x．
在平行四边形ABCD中，
BD2＋AC2＝2(AB2＋AD2)
即(2x)2＋(3x)2＝(232＋112)×2．
∴ x＝10 ∴ BD＝2x＝20，AC＝3x＝30．
∴ ＝BD·BB1＝20×100＝2000 cm2，
＝AC·AA1＝30×100＝3000 cm2．
∴ 它的两个对角面的面积分别是2000 cm2，3000 cm2．
评述：在立体几何的运算中，要注意方程思想的应用，适当地选取未知数，找出等量关系．
对于平行四边形对角线的性质，不仅其本身作用较大，而且可以推广到空间，即平行六面体各棱的平方和等于对角线的平方和．
。
收起
