三角不等式在三角形ABC中，求证
在三角形ABC中，求证
[sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]^2≤
[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2。
[sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]^2
≤[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2。 (1)
设s,R,r分别表示△ABC的半周长，外接圆和内切圆半径。
根据三角形恒等式：
[sin(A/2)]^2+[sin(B/2)]^2+[sin(C/2)]^2=(2R-r)/(2R)；
[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2=(4R+r...全部
在三角形ABC中，求证
[sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]^2≤
[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2。
[sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]^2
≤[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2。
(1)
设s,R,r分别表示△ABC的半周长，外接圆和内切圆半径。
根据三角形恒等式：
[sin(A/2)]^2+[sin(B/2)]^2+[sin(C/2)]^2=(2R-r)/(2R)；
[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2=(4R+r)/(2R)。
不等式(1)等价于
[sin(B/2)+sin(C/2)]^2+[sin(C/2)+sin(A/2)]^2+[sin(A/2)+sin(B/2)]^2≤3 (2)
sin(B/2)*sin(C/2)+sin(C/2)*sin(A/2)+sin(A/2)*sin(B/2)=0、y>0、z>0。
据万能置换公式得:
sin(A/2)=x/√(1+x^2)；sin(B/2)=y/√(1+y^2)；sin(C/2)=z/√(1+z^2)。
对不等式(1)作置换得:
∑[y/√(1+y^2)+z/√(1+z^2)]^2≤3
注意到yz+zx+xy=1，上述两端同乘(y+z)*(z+x)*(x+y) 即证:
∑[y√(z+x)+z√(x+y)]^2≤3(y+z)*(z+x)*(x+y)
因为[y√(z+x)+z√(x+y)]^2
=y^2(z+x)+z^2(x+y)+2yz√[(z+x)(x+y)]
≤y^2(z+x)+z^2(x+y)+yz[(z+x)+(x+y)]
=2xyz+2yz(y+z)+x(y^2+y^2) ，
即得
[y√(z+x)+z√(x+y)]^2≤2xyz+2yz(y+z)+x(y^2+y^2) (6)
同理可得
[z√(x+y)+x√(y+z)]^2≤2xyz+2zx(z+x)+y(z^2+x^2) (7)
[x√(y+z)+y√(z+x)]^2≤2xyz+2xy(x+y)+z(x^2+y^2) (8)
(6)+(7)+(8)得:
∑[y√(z+x)+z√(x+y)]^2≤∑[2xyz+2yz(y+z)+x(y^2+y^2)]
=3(y+z)*(z+x)*(x+y)。
故得不等式(2)。
(5)式证明 由余弦定理,将不等式(5)，化为仅含边长的不等式
-Σa^6+Σa^5(b+c)+ Σa^4*(b^2+c^2)-2Σb^3*c^3-abcΣa^3≥0
不妨设a=max(a,b,c) ，则b^2+c^2>a^2, 上式化简为
a^2*(a-b)*(a-c)*(b^2+c^2-a^2)+
(b-c)^2*[(ab+ac-bc)*(b^2+c^2-a^2)+b^2*(a^2-b^2)+c^2*(a^2-c^2)]≥0
上式显然成立。
不等式(5)得证。
。收起
