Sn=1/2(an +1/an ),求{an}的通项公式
我有一个高考题与此题极相似，供你参考：
已知数列{An}各项都为正数，它的前n项和Sn满足Sn=(1/2)(An +1/An ),(1) 写出数列的前4项;
(2) 猜想{An}的通项公式并予以证明。 (11分)
(1) 解:A1=S1=A1+1/A1, A1>0, ∴ A1=1=√1-√0,2(A2)=A2+/A2===>(A2)^+2A2-1=0, A2>0, ∴ A2=√2-√1, 类似得A3=√3-√2,A4=√4-√3。
(2) 猜想An=√n-√(n-1)。
证明: ① n=1时,A1=1, 已证成立。
② 假设n=k时,Ak=√k-√(k-1), ∴ Ak+1/Ak=...全部
我有一个高考题与此题极相似，供你参考：
已知数列{An}各项都为正数，它的前n项和Sn满足Sn=(1/2)(An +1/An ),(1) 写出数列的前4项;
(2) 猜想{An}的通项公式并予以证明。
(11分)
(1) 解:A1=S1=A1+1/A1, A1>0, ∴ A1=1=√1-√0,2(A2)=A2+/A2===>(A2)^+2A2-1=0, A2>0, ∴ A2=√2-√1, 类似得A3=√3-√2,A4=√4-√3。
(2) 猜想An=√n-√(n-1)。
证明: ① n=1时,A1=1, 已证成立。
② 假设n=k时,Ak=√k-√(k-1), ∴ Ak+1/Ak==2√k。那么当n=k+1时,
A(k+1)=S(k+1)-Sk=(1/2)[A(k+1)+1/A(k+1)-(1/2)(Ak+1/Ak)=(1/2)[A(k+1)+1/A(k+1)-(1/2)√k------->[A(k+1)]^-2√kA(k+1)-1=0,又
A(k+1)>0, ∴ A(k+1)=√(k+1)-√k,即n=k+1时,猜想成立。
有①,②知,对一切n∈N+, An=√n-√(n-1)。收起
