求数列前N项和的题

数列设数列 满足 （1） 求数列 的通项公式； （2） 令 ，求数列的前n项和

（1）求数列通项公式常用以下几种方法： 一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。 　　例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。 　　解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。 二、已知数列的前n项和，用公式 　　S1 (n=1) 　　Sn-Sn-1 (n2) 　　例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5 　　(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6 　　解：∵a...全部

  （1）求数列通项公式常用以下几种方法： 一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。 　　例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。
   　　解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。 二、已知数列的前n项和，用公式 　　S1 (n=1) 　　Sn-Sn-1 (n2) 　　例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5 　　(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6 　　解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 选 (B) 　　此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
   三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。 　　例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。
   　　解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-= -，Sn= -， 　　再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以， - (n=1) - (n2) 四、用累加、累积的方法求通项公式 　　对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。
   　　例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式 　　解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0 　　又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴ -=-， 　　又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*) 　　 高三数学复习：求数列通项公式的常用方法 五、用构造数列方法求通项公式 　　题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有 an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。
   　　例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,…… 　　(1)求{an}通项公式 (2)略 　　解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--) 　　∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。
   　　由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+- 　　又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，证明数列{an-n}是等比数列。
   　　证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数) 　　由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1， 　　所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。
   　　若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。 　　又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。
  (2)略 　　解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1 （2）求数列的前n项和 一。
  用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
   例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2 解：Sn=a1+a2+a3+。。。+an ① 倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ② ①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1) 又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1 ∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。
   二。用公式法求数列的前n项和 对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
   例题2：求数列的前n项和Sn 解： 点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。
   三。用裂项相消法求数列的前n项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 例题3：求数列(n∈N*)的和 解： 点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。
   四。用错位相减法求数列的前n项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
   例题4：求数列{nan}(n∈N*)的和 解：设 Sn = a + 2a2 + 3a3 + … + nan① 则：aSn = a2 + 2a3 + … + (n-1)an + nan+1② ①-②得：(1-a)Sn = a + a2 + a3 + … + an - nan+1③ 若a = 1则：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = 若a ≠ 1则： 点拨：此数列的通项是nan,系数数列是：1，2，3……n，是等差数列；含有字母a的数列是：a,a2,a3,……，an,是等比数列，符合错位相减法的数列特点，因此我们通过错位相减得到③式，这时考虑到题目没有给定a的范围，因此我们要根据a的取值情况分类讨论。
  我们注意到当a=1时数列变成等差数列，可以直接运用公式求值；当a≠1时，可以把③式的两边同时除以（1-a），即可得出结果。 五。用迭加法求数列的前n项和 迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。
   例题5：已知数列6,9,14,21,30,……其中相邻两项之差成等差数列，求它的前n项和。 解：∵a2 - a1 = 3, a3 - a2 = 5, a4 - a3 = 7 ,…, an - an-1 = 2n-1 把各项相加得：an - a1 = 3 + 5 + 7 + … + (2n - 1) = ∴an = n2 - 1 + a1 = n2 + 5 ∴Sn = 12 + 22 + … + n2 + 5n =+ 5n 点拨：本题应用迭加法求出通项公式，并且求前n项和时应用到了12 + 22 + … + n2=因此问题就容易解决了。
   六。用分组求和法求数列的前n项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 例题6：求S = 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n-1n2(n∈N*) 解：①当n是偶数时：S = (12 - 22) + (32 - 42) + … + [(n - 1)2 - n2] = - (1 + 2 + … + n) = - ②当n是奇数时：S = (12 - 22) + (32 - 42) + … + [(n - 2)2 - (n - 1)2] + n2 = - [1 + 2 + … + (n - 1)] + n2 = - 综上所述：S = (-1)n+1n(n+1) 点拨：分组求和法的实质是：将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和。
   七。用构造法求数列的前n项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。 例题7：求的和 解： 点拨：本题的关键在于如何构造出等差或等比数列的特征的通项，在这道题的解法中巧妙的运用了这一转化，使得数列的通项具备了等比数列的特征，从而为解题找到了突破口。
  收起