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已知abc属于R+

已知:a,b,c属于R+,且a+b+c=1,求证1/a+1/b+1/c大于等于9谢谢了

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2010-11-18

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    证明:由柯西不等式,得 [(√a)²+(√b)²+(√c)²)][(1/√a)²+(1/√b)²+(1/√c)²] ≥[√a(1/√a)+√b(1/√b)+√c(1/√c)]²=9,代入a+b+c=1, 即得(1/a)+(1/b)+(1/c)≥9 其中“=”当且仅当a=b=c=1/3时成立。
     也可用均值不等式证明 (1/a)+(1/b)+(1/c)=(a+b+c)[(1/a)+(1/b)+(1/c)] =3+(a/b)+(b/a)+(a/c)+(c/a)+(b/c)+(c/b) ≥3+2√[(a/b)(b/a)]+2√[(a/c)(c/a)]+2√[(b/c)(c/b)]=9 其中“=”当且仅当a=b=c=1/3时成立。
    。

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