判断函数f(x)=x/(2^x-1)+x/2的奇偶性

已知函数f(x)=a^x-1/a^x+1

已知函数f(x)=a^x-1/a^x+1（a>0且a不等于1） （1）求f(x)的定义域和值域； 因为g(x)=a^x当a＞0且a≠1时，其定义域为R，值域为g(x)＞0 所以，a^x+1＞1 故f(x)的定义域为x∈R 又，f(x)=（a^x-1)/(a^x+1)=[(a^x+1)-2]/(a^x+1) =1-[2/(a^x+1)] 因为a^x+1＞1，所以0＜1/(a^x+1)＜1 所以，0＜2/(a^x+1)＜2 所以，-2＜-2/(a^x+1)＜0 所以，-1＜f(x)=1-[2/(a^x+1)]＜1 即，值域f(x)∈(-1,1) （2）讨论f(x)的奇偶性； f(-x)=[a^...全部

  已知函数f(x)=a^x-1/a^x+1（a>0且a不等于1） （1）求f(x)的定义域和值域； 因为g(x)=a^x当a＞0且a≠1时，其定义域为R，值域为g(x)＞0 所以，a^x+1＞1 故f(x)的定义域为x∈R 又，f(x)=（a^x-1)/(a^x+1)=[(a^x+1)-2]/(a^x+1) =1-[2/(a^x+1)] 因为a^x+1＞1，所以0＜1/(a^x+1)＜1 所以，0＜2/(a^x+1)＜2 所以，-2＜-2/(a^x+1)＜0 所以，-1＜f(x)=1-[2/(a^x+1)]＜1 即，值域f(x)∈(-1,1) （2）讨论f(x)的奇偶性； f(-x)=[a^(-x)-1]/[a^(-x)+1] =[1-a^x]/[1+a^x]【分子分母同乘以不为零的数a^x】 =-(a^x-1)/(a^x+1) =-f(x) 所以，f(x)为奇函数 （3）讨论f(x)的单调性。
   由(2)知，f(x)为奇函数，所以只讨论在x＞0时的情况 ①当a＞1时，a^x为增函数 令：0＜x1＜x2 则，f(x1)-f(x2)=[(a^x1-1)/(a^x1+1)]-[(a^x2-1)/(a^x2+1)] =[(a^x1-1)*(a^x2+1)-(a^x2-1)*(a^x1+1)]/[(a^x1+1)*(a^x2+1)] 上述分式的分母一定＞0 分子=[a^(x1+x2)-a^x2+a^x1-1]-[a^(x1+x2)-a^x1+a^x2-1] =2(a^x1-a^x2) 因为a^x为增函数，且x1＜x2 所以，a^x1＜a^x2 所以，f(x1)-f(x2)＜0 即，f(x1)＜f(x2) 所以，f(x)为增函数 而f(x)为R上的奇函数 所以，在R上，f(x)为增函数 ②当0＜a＜1时，同理可得f(x)在R上为减函数。
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