小学应用题的类型及解法

     应用问题的算术解法与-方程解法 我们在解应用题的时候，有些学生习惯用算术去解，有的则喜欢用方程去解。就我自己而言，方程解法更胜一筹。下面举几个典型实例，来比较一下这两种解法的不同，从而进一步体会方程解法的优越性． 　　例1 某农场计划播种小麦与大豆共138公顷，种小麦的面积是种大豆面积的4倍．试问该农场应种小麦与大豆各多少公顷？ 　　算术解法 由本题所给的条件可知，播种总面积等于种大豆面积的(4+1)倍，因此种大豆的公顷数=总播种公顷数÷(4+1)， 　　种小麦的公顷数=总播种公顷数-种大豆的公顷数，即 138÷(4+1)=27。
    6(公顷)， 138-27。6=110。4(公顷)． 　　即应种大豆27。6公顷，小麦110。4公顷． 　　代数解法 用一个字母x表示要求的一个未知量，例如，设种大豆x公顷；再由题目的条件可知，种小麦4x公顷．因此，只要根据关系式 　　总播种公顷数=种小麦公顷数+种大豆公顷数 　　和已知条件“总公顷数为138”，就可以直截了当地写出以下等式(含有未知数的等式，也叫方程) 4x+x=138． 　　由于x是一个未知数，但它终归是一个数，所以可以对它应用运算律．为此，我们对上式做如下变形 (4+1)x=138， 　　即 5x=138． 　　两边同除以5，得 x=27。
    6(公顷)． 　　从而 4x=4×27。6=110。4(公顷)． 　　即种大豆27。6公顷，种小麦110。
    4公顷． 　　比较分析 本题的算术解法中，要求对题意进行思考，先求得解决问题的公式，然后再逐步地对公式中的计算找出解释的理由，从而作出解答．而代数解法，只要求用字母x表示待求的未知量，再考虑待求的未知量x与已知数量之间的关系，然后直截了当地列出一个等式，再应用运算律(或等式的基本性质)，求出这个未知数x应取的数值，使问题得到解决． 　　例2 鸡兔同笼．共有56个头，160只脚，试问鸡、兔各多少只？ 　　算术解法 这是一个古老而有趣的数学问题，由于思考方法不同，可有不同的解法，以下是较为简单的解法．由于已知鸡、兔共160只脚，如果我们假定每只兔抬起2只脚，每只鸡抬起一只脚，则落地的脚是160只的一半，即80只脚．这80只脚中鸡的脚数与头数相等．因此， 　　兔数为：　　　80-56=24(只)； 　　鸡数为：　　　56-24=32(只)． 　　代数解法 设兔为x只，则鸡为(56-x)只，兔的脚数为4x，鸡的脚数为2(56-x)，又由已知条件，鸡兔一共有160只脚，可列出方程 4x+2(56-x)=160． 　　去括号 4x+112-2x＝160， 　　合并同类项 4x-2x＝160-112， 　　即　　　 2x=48， 　　所以 　　 x=24(只)…兔数． 　　从而 　　56-24=32(只)…鸡数． 　　比较分析 本题算术解法中，根据题设特点，利用了一个特殊技巧，即鸡、免各抬起一半脚，然后依据其余脚数中，鸡的脚数与头数一一对应关系，得到解答．这种解法虽然有效，但不具有一般性，这也是算术解法的一个弱点，即一个问题一种解法，缺乏一般的通用性．而代数解法则不同，在本题中，只须用一个字母x代表兔(或鸡)的数量，然后便可根据已知条件，顺理成章地找出等量关系，列出方程．下一步解方程求未知数x的值，只是进行变形和运算，不需要什么特殊技巧．因此，代数解法具有一般性，这也是它优于算术解法之所在． 　　在前面的两例中，虽然比较分析了应用问题的算术解法和代数解法的特点，但对两者的联系未作进一步的探讨，下面通过例3，初步讨论一下这个问题． 　　例3 设有5元和10元的人民币共12张，共计85元，问其中5元、10元的人民币各几张？ 　　算术解法 假如全部是5元的人民币，则共计 5×12=60(元)， 　　与总和相差 85-60=25(元)． 　　现在让我们逐次用一张10元的票子去换一张5元的票子，使得总张数保持不变，每换一次，总值将增加 10-5=5(元)． 　　那么换几次才能补足总差额25元呢？这只要做一次除法就行了，即25÷5=5．所以答案是 　　10元人民币的张数=(85-60)÷(10-5) ① =25÷5＝5． 　　5元人民币的张数=12-5=7． 　　代数解法 设10元人民币的张数为x，则5元人民币的张数为(12-x)，其中x是一个待求的未知数，在此它只是10元人民币张数的简写，利用上述未知数符号，根据 　　10元人民币的总元数+5元人民币的总元数=85，则可写出下列方程 　　10x+5(12-x)=85． ② 　　以下的工作便是用“运算律”和“等式的性质”解出方程②的x值，就可得到解答了． 　　用分配律，去掉②中之括号，得 10x+5×12-5x＝85， 　　由交换律、分配律得 (10-5)x+60＝85， 　　由等式性质，两边同减60，得 (10-5)x=85-60， 　　等式两边同除以(10-5)，得 　　x=(85-60)÷(10-5)=5． ③ 　　比较分析 在代数解法中，我们先引进一个未知数x，表示问题中待求的量(如10元人民币的张数)，然后把未知数代入问题中，列出方程，再用运算律和等式的性质，求出方程中未知量x的值．在本例中，方程②的解就是③式 x=(85-60)÷(10-5)=5． 　　容易看出，算术解法其实就是上面由代数方程②所得的求值公式③，然后对于公式③中的每一步进行计算： 60=5×12， 85-60=25， 10-5=5， (85-60)÷(10-5)＝25÷5=5． 　　并对每一步计算找出合适的理由加以解释就是了． 　　同学们可能会问，在算术解法中，怎么会发现求值公式①呢？对这个问题的回答，大体有两种可能： 　　第一种可能是先用代数解法，由②求得公式①，但由于小学还没有学习代数，所以只好耐心地对①式中的每一步计算，结合题意加以解释，使同学们了解算术解法的合理性． 　　第二种可能是对上述实际问题，做了一番归纳的工作，就是：假如12张人民币都是5元的，则12×5=60；假如11张为5元，1张为10元，则11×5+10=65；假如10张为5元，2张为10元，则10×5+2×10=70；以此类推，不难发现当10元人民币的张数由0逐次加1时，总金额由60开始逐次加一个5，而①式就是这个意思． 　　把两种解法加以比较可以看出，算术解法的准备工作，对于给定类型的问题，先做一番实验归纳工作，从而求得解决该类问题的公式，或合理的有顺序的计算步骤，然后还要逐步对公式中的计算找出理由加以解释．显然，这样做是缺乏普遍性的． 　　而代数解法的准备工作是引入未知数符号，把问题中的数量关系，特别是等量关系用代数方程表示出来，然后再利用“运算律”和“等式性质”，求出方程中未知量应有的值，所以代数解法直截了当、简捷明快，具有高度普遍性． 　　一般说来，算术解法的公式和理由，由问题的类型不同而不同．但代数解法的基本原理就是有效地利用了“运算律”和“等式性质”，所以这种解法不仅具有普遍性，也具有统一性． 　　　　由此可见，代数解法，由于用字母表示了数，所以对所求的结果用正、负数的意义加以解释，就得到了这一问题的答案．这也就说明了代数解法比算术解法更具有普遍性． 参考文献： 。