不等式证明题

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2009-06-29

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记p=a，q=b/(a^2+b^2)，则p＞0，q＞0，pq=ab/(a^2+b^2)≤1/2，所以min[a,b/(a^2+b^2)]=min(p,q)≤√(1/2)=√2/2 【附注】两正数X、Y之积小于等于A，至少有一正数小于等于√A。稍加说明。反证法，若两数均大于√A，那么其积就一定大于A。

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水***

2009-06-28

53 0

证明：先对b/(a^2＋b^2)分析，不妨将a看做常数，分式上下同时除以b 则有：b/(a^2＋b^2) ＝1/(a^2/b+b) ≤1/(2a) 这一步是均值不等式（a=b时取等）有题意可知， h=min{a,b/(a^2＋b^2)} =min{a,1/(2a)} 在a-h坐标系中，作出h=a和h=1/(2a)的图像（a>0）则h应该取两函数中的较小者，而两图像的交点为（根号2/2，根号2/2）所以h为分段函数：当a≤根号2/2时，h=a 当a>根号2/2时，h=1/2a 所以在（根号2/2，根号2/2）处，h取得最大值根号2/2 此时a=b=根号2/2, h≤根号2/2 证毕。
。

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