那位哥哥姐姐帮忙详细解释一下狄利
Dilikelei hanshu
狄利克雷函数
Dirichlet -function
又称对应于模的特征()的狄利克雷L函数, 即函数[122-1],其中1,()是模的一个特征,复变数=+i,>1。 它在=1时就是黎曼函数。这类函数最初是由P。G。L。狄利克雷在研究算术级数中的素数分布问题时引进的。它的性质和作用,都与黎曼函数类似,在许多数论问题中有重要应用。它的主要性质有:
① 当>1时,[122-2],式中[122-3]表示对全体素数求积。 因而L(,)0 (>1)。
② 当是模的主特征时,
[122-4]于是,通过T(02512)()就把L(,)解析开拓到全平面。
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Dilikelei hanshu
狄利克雷函数
Dirichlet -function
又称对应于模的特征()的狄利克雷L函数, 即函数[122-1],其中1,()是模的一个特征,复变数=+i,>1。
它在=1时就是黎曼函数。这类函数最初是由P。G。L。狄利克雷在研究算术级数中的素数分布问题时引进的。它的性质和作用,都与黎曼函数类似,在许多数论问题中有重要应用。它的主要性质有:
① 当>1时,[122-2],式中[122-3]表示对全体素数求积。
因而L(,)0 (>1)。
② 当是模的主特征时,
[122-4]于是,通过T(02512)()就把L(,)解析开拓到全平面。
③ 当是模的非主特征时,一定存在惟一的一个模[xin]的原特征[xin],使当>1时,有
[122-5]
④ 当是模的原特征时,L(,)可解析开拓为整函数,且满足函数方程
[122-6],式中[122-7]()为仅与有关的常数,且满足[122-8]表的共轭特征,即[122-9]
⑤ 对任意的模的特征,有(1,)0。
⑥设是模的原特征,那么=-(2+())( =0,1,2,…)是L(,)的一级零点,称为“无聊零点”;L(,)可能有的其他零点(称为“非无聊零点”)一定都位于带形区域01中;L(,)确有无穷多个非无聊零点。
⑦ 设 >0,以(,)表 L(,)在区域01,|| 中的零点个数因此,当 是模的原特征和2时,有[122-10]
⑧ 设>0,[122-11],以(,,)表L(,)在区域1,||中的零点个数再设[122-12][122-13],其中Σ表对模的所有特征求和。
因此,当 2时,有[122-14]。此结果已被改进和推广,通常称之为 函数的零点密度定理。
⑨ 在直线=1上,L(,)0。由此,对任意固定的,可推出算术级数中的素数定理。
⑩ 存在绝对正常数,使得对任意固定的模,在所有的函数L(,)( mod )中,仅可能除去一个例外函数外,均在区域[122-15]内无零点。
如果这样的例外函数L(,)存在,那么一定是模 的实的非主特征,且 L(,) 在上述区域内只有一个一级实零点 。这一性质是狄利克雷L函数与黎曼函数的一个主要差别。研究对应于实特征的L函数的实零点,是L函数论的最重要问题之一。
A。 佩奇于1935年证明了:存在绝对正常数,使得对任意的实原特征 mod,3,必有 L(1,)(。由此可推出,存在绝对正常数,使得对任意的实特征 mod ,3,当 [122-16] 时,(,)0。
C。L。西格尔于1936年证明了:对任给的正数,存在正常数(),使得对任意的实原特征mod, 3,必有[122-17]。由此推出,对任给正数,必有正常数 c(),使得对任意的实特征 mod,3,当[122-18]时,L(,)0。
C。 L。 西格尔的结果虽然优于A。 佩奇的结果,但是常数()和()至今没有办法计算出来。
从性质⑩、、可推得有余项估计的算术级数中的素数定理(见素数分布)。类似于黎曼假设,有所谓广义黎曼假设,即猜测所有的狄利克雷L函数的非无聊零点都位于直线=1/2上,通常简记作GRH。
大量的数值计算以及理论上的探讨都支持这一假设,但它至今还没有被证明或否定。从GRH可推出一系列重要的数论结果,虽然都是一些假设性的结果(其中有的已被无条件地证明了),但是却指出了研究 函数零点的重要意义和方向。
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