公式的证明1方+2方+3方+……n的平方=什么？
1立方+2立方+3立方+n的立方=什么？
如何证明？
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太初等了。楼上有用数学归纳法证明的。但是我们要先知道结果才能用归纳法的。那么直接怎么推导呢？最常见的办法是利用二项式定理展开来做。
例如求s=1^2+2^2+3^2+……n^2
因为(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1，所以
（x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1
分别令x=1,2,……,n然后把这n个等式左右分别相加可得
(n+1)^3-1=3S+3(1+2+^+n)+n=3S+3n(n+1)/2+n
将上式看成关于未知数S的方程，解出S=n(n+1)(2n+1)/6
继续用四次方展开可以求出立方和、接下来求四次方和等等。
这是初等方法，其实学了级数以后没这么麻烦，这种级数...全部
太初等了。楼上有用数学归纳法证明的。但是我们要先知道结果才能用归纳法的。那么直接怎么推导呢？最常见的办法是利用二项式定理展开来做。
例如求s=1^2+2^2+3^2+……n^2
因为(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1，所以
（x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1
分别令x=1,2,……,n然后把这n个等式左右分别相加可得
(n+1)^3-1=3S+3(1+2+^+n)+n=3S+3n(n+1)/2+n
将上式看成关于未知数S的方程，解出S=n(n+1)(2n+1)/6
继续用四次方展开可以求出立方和、接下来求四次方和等等。
这是初等方法，其实学了级数以后没这么麻烦，这种级数有求和公式的，先介绍一下贝努力数Bn，由关系B0=1,∑C(n,k)Bk=Bn(n≥2）,K从0到n 所确定的数列称为贝努力数Bn，这下就可以求自然数的幂级数和了。
自然数的m次幂求和公式为：
Sm(n)=1^m+2^m+3^m+……+(n-1)^m
=[1/(m+1)]*∑C(m+1,k)*Bk*n^(m+1-k)，Bk为贝努力数,k从0加到m。
举例：因为B0=1,B1=-1/2,B2=1/6，B3=0，……
所以S2(n)=1^2+2^2+……+(n-1)^2
=(1/3)[C(3,0)B0*n^3+C(3,1)B1*n^2+C(3,2)B2*n^1]
=(1/3)(n^3-1。
5n^2+0。5n)
=(1/6)(2n^3-3n^2+n)
=n(n-1)(2n-1)/6
把n用n+1取代，则得平方和公式
1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。
有了这个公式，随便楼主求几次幂求和公式都行。不必再辛辛苦苦地从平方公式推立方公式，再推导4次方公式了。
祝楼主学业进步！
。收起
